图解与双曲线有关的区域问题

何威　魏丹

一、问题提出

圆是完美的图形，学生容易理解圆的有关区域问题，如圆分整个平面为三个部分：圆上、圆内、圆外；再如从平面内一点P做圆的切线的情况：当P在圆内时，0条；当P在圆上时，1条；当P在圆外时，2条.这一结论可类比推理，在椭圆、抛物线中得到十分类似的结论.然而到了双曲线，情况就复杂多了，这一部分是学生理解和识记的难点.相比于圆与椭圆，双曲线的图象一方面是由分开的左、右支构成的，另一方面双曲线有渐近线，这些特性使得需要分类讨论的情况更多.

为了帮助学生厘清与双曲线有关的区域问题，笔者在教学中用图解的方式，让学生从形感知，从数推理，在知识之间构建整体的联系，借助直观化策略提升学生的推理与想象能力，加深对双曲线区域问题的理解与记忆.

二、图解区域问题

2.1 双曲线分平面的不同区域

类比点与椭圆的位置关系，点与双曲线的位置关系如何刻画？

问题1 如图1，已知双曲线的方程为x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0），请观察A、B、C与双曲线的位置，试写出A点满足的数量关系.

事实上，设A（x0，y0），B（x1，y0），则满足x21a2－y20b2=1，而x0>x1，故x20a2－y20b2>x21a2－y20b2=1.从形到数的升华，C点也可以类似处理，可得如下结论：

如图2，记下列双曲线的方程为x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），定点P（x0，y0）.双曲线将整个平面分为三个部分：①若点P在双曲线上，则满足x20a2－y20b2=1；②若点P在区域Ⅰ，则满足x20a2－y20b2>1；③若点P在区域Ⅱ，则满足x20a2－y20b2<1.

实际上，区域Ⅰ称之为双曲线的内部，区域Ⅱ称之为双曲线的外部.

2.2 双曲线中点弦存在的区域

问题2 中点弦是圆锥曲线中的重要性质，双曲线的中点弦什么时候存在？

已知双曲线的方程为x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），双曲线的一条弦AB的中点为P（x0，y0），通过点差法易得中点弦满足kAB=b2x0a2y0.

事实上，设直线AB：y=k（x－x0）+y0，与双曲线的方程联立得（b2－a2k2）x2－a2（2ky0－2k2x0）x－a2（k2x20－2kx0y0+y20+b2）=0，将kAB=b2x0a2y0代入后，则Δ=4a2b6y20（x20a2－y20b2）（x20a2－y20b2－1）.下面只需讨论x20a2－y20b2与x20a2－y20b2－1的符号即可.从几何意义上看，这两个式子的符号分别对应为点P（x0，y0）与渐近线、点P（x0，y0）与双曲线的位置关系.易得结论如下：

结论2 （如图3）①若点P在双曲线上，或渐近线上，或在区域Ⅲ时，Δ≤0，此时中点弦不存在.

②若点P在双曲线的区域Ⅰ与区域Ⅱ时，Δ>0，此时中点弦存在.

2.3 双曲线的切线条数的区域

问题3 类比直线与椭圆中的研究方法，过一点可作几条双曲线的切线？

已知双曲线的方程为x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），过平面内一个定点P（x0，y0），可作几条切线？下面从数、形两个角度进行说明.

事实上，当直线斜率存在时，设直线y=k（x－x0）+y0，与双曲线的方程联立得（b2－a2k2）x2－a2（2ky0－2k2x0）x－a2（k2x20－2kx0y0+y20+b2）=0.直线与双曲线相切应满足b2－a2k2≠0，且Δ=0.其中Δ=（x20－a2）k2－2x0y0k+y20+b2=0（*）.以下先来研究（*）式解的情况，同时注意结合斜率不存在时可能存在切线的情况，结论如下：

（1）当x0=±a，y0=0时，（*）式无解，此时还有一条平行于y轴的切线.

（2）当x0=±a，y0≠0且y0≠±b时，（*）式有唯一解，此时有两条切线，其中一条平行于y轴.

（3）当x0≠±a时，（*）式的解由Δ1=－4（b2x20－a2y20－a2b2）确定.当Δ1<0时，满足x20a2－y20b2>1，无切线；Δ1=0时，满足x20a2－y20b2=1，有唯一切线；当Δ1>0时，满足x20a2－y20b2<1，（ⅰ）若b2x20－a2y20=0，且x20+y20≠0时，方程有一解k=bax或k=－bax，直线与渐近线平行，舍去，此时只有一条切线;（ⅱ）若x20+y20=0时，有两解k=bax和k=－bax，都舍去，此时无切线.

综上所述，由定点所确定的切线条数的区域如下.

结论3 （如图3）①若P在原点O处，或在双曲线内（区域Ⅰ），可作0条切线;②若P在渐近线上（除O外），或在双曲线上，可作1条切线;③若P在双曲线外且不在渐近线上（区域Ⅱ，Ⅲ），可作2条切线.

2.4 与双曲线有唯一公共点的區域

问题4 过点P作与双曲线有唯一公共点的直线有几条？

注意到当直线与双曲线只有一个公共点时，有两种情况：相交（直线与渐近线平行时）或相切.在问题3中已经研究了切线条数的情况，只需研究与渐近线平行的相交直线的条数即可.

当点P在原点O处，有0条与渐近线平行的相交直线；当点P在渐近线上（除O外），可作1条与渐近线平行的相交直线；当点P在双曲线上，或在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，可作2条与渐近线平行的相交直线.

此时再加上问题3中相切的条数，归纳得如下情况（如图3）：

结论4 ①若P同时在原点O处，可作0条；

②若点P在双曲线内（区域Ⅰ），或在渐近线上（除O外），可作2条;（在双曲线内，此时两条均相交；在渐近线上（除O外），一条相切一条相交）.③若点P在双曲线上，可作3条，一条相切，两条相交.④若点P在双曲线外的区域Ⅱ与区域Ⅲ，有4条，两条相切，两条相交.

三、教学反思

在中学数学的学习过程中，抽象思维的要求越来越高，教学时需尊重学生认知思维的发展规律，设置必要的思维梯度.整体看待单元知识，并对单元知识结构进行重组，呈现出环环相扣、层层递进的逻辑链结构，培养由简至繁的思维习惯.例如区域问题的4个层次，从最简单的点与曲线的位置，到中点弦存在区域、再到切线条数区域和唯一公共点区域，情况逐渐复杂，逻辑依次递进，加强了知识之间的内在联系.

此外，借助直观化的方法可适当减轻学生思维的抽象性负担，破解学生的心理障碍.形象思维是人们发现、掌握事物本质的初始能力，数学知识本身就具有丰富的表象.而高中数学的抽象复杂是很多学生比较畏惧的，可借助多感官参与，给学生联想、想象的空间，让形象思维与抽象思维相得益彰.

参考文献

［1］王木玉，孙圣金，齐玉林.对双曲线的一个特殊区域的探究［J］.中学教研，2004（3）：39-41.