求解未知矩阵方法的探究

侯春娟 陈雪姣 石金诚 李志青 李远飞

【摘要】矩阵作为线性代数的基础知识点，对后续知识的学习起着铺垫作用.在学生掌握矩阵的基本概念与运算后，教师应按照授课进度，通过举例与对比来总结线性代数教学中关于求解未知矩阵的知识点.同时，教师可将知识点的结果用Matlab软件运行出来，让学生意识到线性代数计算与教学辅助软件相结合的重要性，并通过应用举例让学生加深对此知识点的理解.

【关键词】线性代数；矩阵；初等变换

【基金项目】项目资助信息：广州华商学院2021年线性代数一流课程（HS2021YLKC05）；广州华商学院“校级质量工程”项目（HS2021ZLGC31，HS2020ZLGC74）.

众所周知，线性代数内容不仅仅在数学领域非常重要，在其他学科中也起着举足轻重的作用，广泛地应用于通信工程、电气行业、工程测量及生物工程等领域.在大数据时代盛行的今天，计算机技术促进了科学的进步与完善，诸如计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术都离不开线性代数.而在线性代数教学中，教师们也应不断地总结其教学特点及相关的应用.

一、未知量代入法

若未知矩阵为X，可根据已知条件确定矩阵中的行数m和列数n，即矩阵含有的未知元素个数mn.当然这种情形下，练习计算m和n取值不宜过大.

比较典型的例子还有求与已知矩阵可交换的未知矩阵.

注意A*的计算过程：

（1）先计算出矩阵A中所有元素的代数余子式.

代数余子式也是学生在计算过程中较易出错的一个知识点.所谓代数余子式就是这个元素的余子式和它前面的符号的组合，这个符号要么为正号，要么为负号.如果这个元素的行标和列标之和是偶数，那么它的代数余子式就是它的余子式；如果这个元素的行标和列标之和是奇数，那么它的代数余子式就是在它的余子式前面赋一个负号，即此时的代数余子式与余子式互为相反数.

（2）将矩阵A中元素aij的代数余子式记作Aij，将由Aij（n×n）构成的方阵写成转置矩阵，即把行的形式写成列的形式.

对于例1，我们前面根据矩阵相乘条件及相乘矩阵的结果，判断矩阵X一定是3×2的矩阵，按照未知矩阵代入法去求解，即设出未知矩阵X的6个元素，将AX的相乘后得到的3×2矩阵，与B矩阵一一对应，求出结果.下面我们不妨用逆矩阵方法来求解.

对例1，我们采取初等行变换方法进行计算.

四、线性方程组求解

我们知道，对于一个n元线性方程组，会有唯一的矩阵方程Ax=b与其相对应，其中，矩阵A（m×n）是由方程组系数构成系数矩阵，矩阵b（m×1）是由等号右端的常数项构成的列向量矩阵，也就是方程组的常数项矩阵，则x一定是含有n个未知量的列向量矩阵，也就是我们要求解的n个未知量构成的未知量矩阵，此时线性方程组求解的问题就转化为求未知矩阵的问题.对于齐次线性方程组求解，即矩阵b（m×1）是零向量矩阵时，相对容易.如果是非齐次线性方程组求解，就要将增广矩阵（A|b）进行初等行变换，先化成行阶梯形矩阵，利用系数矩阵和增广矩阵的秩进行判断，如果两者的秩不相等，则原非齐次线性方程组无解，这是最简单的情况；如果两者的秩是相等的，则此时要将该秩与未知量的个数进行判断，到底是有唯一解还是无穷多解，当然此时要将前面的行阶梯形矩阵化成为最简行阶梯形矩阵.

显然，对于非齐次线性方程组求解可以转化成矩阵方程Ax=b再进行求解.在进行初等行变换判断Ax=b解的问题时，当m≠n时，我们只需要将增广矩阵（A|b）进行初等行变换，利用系数矩阵和增广矩阵的秩进行判断即可.当矩阵A为方阵时（m=n），如果A是可逆的，用前面的逆矩阵定义法也可以处理：将增广矩阵（A|b）化成（E|A-1b），也就是类似前面例1的做法.

所以，初等行变换在求已知矩阵的逆矩阵及求解线性方程组解的问题时都是非常实用和必备的计算工具.

五、教学辅助软件的融入

在教学过程中，教师要将一些教学辅助软件介绍给学生，如Matlab软件，便于计算机专业的同学更好学会融会贯通.

对于例1，可用Matlab软件输入如下，即快速得到计算结果.

六、应用举例

例4 某地区有甲、乙、丙、丁4个生产商，都生产a，b，c三种服装，各生产商生产三种服装的数量（单位：千件）、总收入（万元）和总利润（万元）数据如下表所示，求a，b，c三种产品的单位价格和单位利润.

解 根据已知条件，设矩阵A表示一年中各生产商生产三种服装的数量（单位：千件）；矩阵B表示各生产商的总收入（万元）和总利润（万元）.

对以上两个非齐次线性方程组的求解，我们在前面第三部分的初等变换法有提到，这里我们不做具体的演算步骤，只给出Matlab软件运行下的（1）和（2）结果：

即a，b，c三种服装的单价（单位：元/件）分别是31.5789，57.8947，73.6842.单位利润分别是（单位：元/件）0.3759，3.3083，17.0677.

教师要在教学中不断总结，把知識点串联起来，帮助学生梳理知识框架，让学生树立信心，培养学生学习的自豪感.虽不能希冀所有学生都喜欢线性代数这门重要的基础课程，至少不要让大多数学生对线性代数学习产生畏惧心理.

【参考文献】

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