三角函数求值问题分类探析

王凡龙

(山东省五莲县第一中学)

三角函数求值问题是高考必考题型,这类问题主要考查考生对三角恒等变形的综合应用能力,考查数学运算的核心素养.求解这类问题,不仅要用到三角恒等变换公式,还必须掌握一定的变换技巧.三角函数的求值问题最常见类型有三种:给角求值型、给值求值型和给值求角型.那么,破解这三类问题有何良策? 下文举例说明.

1 给角求值型

对于给角求值问题,一般所给出的角都是非特殊的角,从表面上看是很难的,但仔细观察会发现这些角与特殊角之间总有一定的关系,解题时,要结合观察得到的关系,利用和角、差角公式、升降幂公式等进行转化.

点评本例第(1)问用到了两角差的余弦公式;第(2)问将切化弦,利用两角差的余弦公式可将原式分子化成一个同角函数,再利用二倍角公式及诱导公式化简求得结果;第(3)问结合两角和的正切公式化简即可得到答案.

2 给值求值型

给值求值型问题往往是给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数式的值,解题关键在于“变角”,使其角相同或有某些关系.常用的角的变形有2α＝(α＋β)＋(α－β),2β＝(α＋β)－(α－β),

方法2对原式等价变形可得

点评本例给出的两种方法各有千秋,方法1采用了变角法,直接代入三角和的正弦公式求解;方法2采用了方程思想,先由条件等式求出角的正切值,再把所求三角式化成分子、分母关于正切的二次齐次式,最后代入求得结果.

3 给值求角型

给值求角问题实质上也可以转化为给值求值问题,求解的关键是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.

点评注意到,故利用诱导公式和两角和的正弦公式求解.这类问题虽然难度一般,但解答时要注意三角函数值的正负问题,要注意目标式与条件式角度之间的关系,然后通过和差角公式求解,要注意目标式的取值范围,避免出现不符合要求的多个解情况.

从以上三类问题的举例分析可以看出,虽然它们的解法各异,但思维程式异曲同工,即发现差异、寻找联系、合理转化.

(完)