导数与三角函数联袂问题的分类讨论策略

祁居攀

(甘肃省临泽县第一中学)

近年导数与三角函数联袂问题比较受高考命题者的青睐,由于三角函数具有周期性和有界性,导致求导后某个范围内导函数恒正或恒负,所以处理三角函数与导数综合问题的关键是需要逐段分类讨论,在讨论中对取点、估值、函数的性质等考查力度较大,需要考生有很强的观察能力、逻辑推理能力.本文梳理了几种导数与三角函数联袂问题的分类讨论策略,供大家参考.

1 根据导函数的零点分区间讨论

点评通过导函数的零点,分区间讨论函数的单调性是常用的方法之一,其关键点是导函数在区间内的零点可求且是确定的.

2 根据导函数的结构分象限讨论

例3 已知函数f(x)＝ex－sinx－1.

点评根据三角函数周期性的特点,分象限讨论能更准确地判断导函数的符号,进一步讨论原函数的单调性.

3 根据导函数的符号分段讨论

下面根据导函数的取值符号分段讨论.

点评通过观察导函数的结构,先进行讨论已知区间内能直接判断出导函数符号的区间,再讨论剩下的区间,可以降低讨论的复杂程度.

4 根据导函数端点值的符号分类讨论

例5已知函数f(x)＝2exsinx－ax,若0＜a＜6,试讨论f(x)在(0,π)上的零点个数(参考数据≈4.8).

解析因为f(x)＝－2exsinx－ax,所以f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)－a,令h(x)＝f′(x),则h′(x)＝4excosx.

综上,当0＜a≤2时,f(x)在(0,π)仅有1个零点;当2＜a＜6时,f(x)在(0,π)上有2个零点.

点评若导函数的端点或拐点处的符号不确定则原函数的单调性也无法确定,因此导函数的端点或拐点处函数值的正、负是引发讨论的一个重要因素,在解题过程中要加以重视.

导数与三角函数联袂问题的题型灵活多变、综合性强,尤其是区间内导函数的零点不易确定时,此时需要考生根据三角函数的结构特点,找准分类讨论的切入点,优化解题过程.

(完)