探究本质 提炼方法——以指数函数与对数函数混合型不等式问题为载体

王 波

(江苏省苏州实验中学)

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》明确指出,函数是现代数学最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的数学语言和工具,在解决实际问题中发挥着重要作用.指数函数与对数函数的混合型不等式问题在试卷中常作为压轴题出现,难度比较大.在学习中,我们如何突破这一关键难点显得尤为重要.本文围绕这一问题通过实例介绍一些思路和方法.

1 局部研究,寻找突破路径

例1已知函数f(x)＝ex－1,g(x)＝bx－blnx(a,b∈R),若f(x)≥xg(x)对x＞0恒成立,求实数b的取值范围.

若1－b≥0,即b≤1,当x＞1 时,h′(x)＞0,h(x)单调递增;当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)单调递减,所以h(x)≥h(1)＝1－b≥0,故b≤1.

若1－b＜0,即b＞1,h(1)＝1－b＜0与h(x)≥0矛盾.

综上,实数b的取值范围是(－∞,1].

点评本题是典型的指数函数与对数函数混合型不等式问题,解题关键是发现函数与函数y＝x－lnx的导数中有相同的因式x－1,从而提取公因式,对其局部进行研究,使问题得以顺利解决.

启示我们要熟知此类函数的导数形式,并学会把函数变形成常见函数,比如y＝xex,y＝x＋lnx,等,化生为熟.

点评本题原函数的导数中没有可以提取的公因式,但可以通过分离参数使问题只需研究函数h(x)的性质,从而得到原函数g(x)的单调性.运用“隐零点”处理最小值,需要对其进行变换,即对ex,lnx进行变换处理,形成能够求出定值或最值的形式.

启示例1是直接构造函数研究,通过提取公因式使问题简化,例2是通过参变分离使问题简化,两者都是从局部入手寻找突破点,分析函数的性质.这种思想方法常用于求解指数函数与对数函数混合型问题.

2 同构变形,构造常见函数

例3已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna,若f(x)≥1,求a的取值范围.

令g(t)＝et＋t,则上式等价于g(lna＋x－1)≥g(lnx).易知g(t)为增函数,所以lna＋x－1≥lnx在(0,＋∞)上恒成立,即lna≥(lnx－x＋1)max,令y＝lnx－x＋1,易知函数y′＝－1,所以y＝lnx－x＋1在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,故y＝lnx－x＋1的最大值为0,即lna≥0,则a≥1,故a的取值范围是[1,＋∞).

点评以上同构变形将混合型问题变为单一的指数或对数形式问题,化繁为简.解题的关键在于观察出函数之间的微妙关联,如能够及时发现等之间的联系,构造出“母函数”f[g(x)]≥f[h(x)],利用函数的单调性得出“子函数”的大小关系.这样的变形对问题的形式有较大要求,近几年全国卷中也常出现这样的问题,因此我们应引起重视.

启示对于指数函数与对数函数的混合型不等式问题,解题的难点在于发现两者之间的联系,而同构变形恰是找准两者结构上的关联性,构建桥梁,将指数函数与对数函数混合问题转变成单一的指数函数或对数函数相关问题.

3 端点探路,思索合理范围

例4已知函数f(x)＝xex－elnx,若f(x)≥b(x－1)2＋e(lnx＋1)恒成立,求实数b的取值范围.

当5e－2b≥0,即b≤e时,m″(x)≥m″(1)≥0,所以m′(x)在(0,＋∞)上单调递增,又m′(1)＝0,所以当0＜x＜1时,m′(x)＜0,m(x)单调递减;当x＞1时,m′(x)＞0,m(x)单调递增,故m(x)≥m(1)＝0,所以式①恒成立.

当5e－2b＜0,即b＞e 时,m″(1)＜0,又m″(ln2b)＞0,所以存在x0＞1使m″(x0)＝0,故当1＜x＜x0时,m″(x)＜0,m′(x)单调递减,所以m′(x)＜m′(1)＝0,此时m(x)单调递减,所以当1＜x＜x0时,m(x)＜m(1)＝0,所以式①不成立.

综上,实数b的取值范围是(－∞,].

点评观察发现m(1)＝0,结合问题发现m(x)≥m(1)＝0,这为找准问题解决方向提供了关键参考.又m′(1)＝0,若有m′(x)≥m′(1)＝0,则m(x)≥m(1)＝0.而m″(x)≥m″(1)≥0 保证了m′(x)的单调性,又m‴(1)＝0协助探究了m″(x)的单调性,所以本题循环利用端点值起到了很好的作用.

启示在学习指数函数与对数函数时都会探究图像过某点,这为以后解决这类函数综合问题埋下伏笔.学会观察函数解析式的代数特征、分析函数图像趋势、思索问题突破点也是解决这类问题的重要思路.

4 放缩化简,巧用切线变形

例5证明:当x＞0时,有

解析首先容易证明两个常见的不等式lnx≤x－1(当且仅当x＝1时,等号成立)与ex≥x＋1(当且仅当x＝0时,等号成立),其中ex≥x＋1可变形为ex－2≥x－1,所以

点评本题结构复杂,直接构造函数研究比较困难,所以考虑借助常用不等式lnx≤x－1与ex≥x＋1进行放缩求解.

启示常见不等式的主要作用就是把不同阶的函数转化为同阶函数,这样有利于研究问题,当然也可以放缩后再构造函数进行研究,进而解决目标问题.

5 分而治之,探求最值大小

点评本题以常见函数为模型,采用“倒置”形式命题,即证明成立,利用不等式性质将之变形为证明不等式的一种方法是构造一个整体函数,进而通过研究函数的性质求出最值.本题采用不等式证明中的另一种方法,即构造两个函数,比较两个函数的最小值与最大值,虽然不是常见方法,但也是求解该类问题的一种方法.

启示观察函数lnx前的系数是求解这类问题的关键之处,若该系数是常数,可以通过求导消除lnx,将问题变为单一的指数函数形式;若该系数不是常数,可通过变形构造关于lnx的常见形式如y＝等.

章建跃先生曾说:“数学教学必须注重思想和方法的教学,这是由数学的学科特点决定的.”从教的角度看,把握好思想方法才能准确把握教学目标,才能把数学教得本真而自然,教学行为才能“准、精、简”,充分发挥数学的育人功能.从学的角度看,注重思想方法才能了解知识的源头、发展和去向,才能掌握不同内容的关联性,做到既学到“好数学”,又学得兴趣盎然.因此,我们要勤于思考、善于分析、乐于探究,才能不断提高自己分析问题和解决问题的能力.

(完)