函数诚可贵 同构价更高

陈熙春(正高级教师)

(宁夏六盘山高级中学)

利用同构法解题已经成为近年来高考命题的热点.对一个等式或不等式进行变形,使等式或不等式左、右两边式子结构完全相同,然后通过构造函数,利用函数的单调性进行处理,找这个函数模型的方法就是同构法.在一些函数或不等式问题中,同构已经成为一种常见的解题意识与技巧.其关键在于观察函数或式子结构的共性,并合理构造共性,借助并应用共性解题.

1 常见同构试题类型

1.1 利用同构法解决解不等式中比较大小问题

例1(2020年全国Ⅰ卷理12)若2a＋log2a＝4b＋2log4b,则( ).

A.a＞2bB.a＜2b

C.a＞b2D.a＜b2

解析因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b,而22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log22b,所以2a＋log2a＜22b＋log22b.

令f(x)＝2x＋log2x,由指数、对数函数的单调性可得f(x)在(0,＋∞)上单调递增,且f(a)＜f(2b),所以a＜2b,故选B.

点评解题的关键是先对等式右边4b＋2log4b变形并放缩,得到2a＋log2a＜22b＋log22b,观察不等式左、右两边的结构特点,构造函数f(x)＝2x＋log2x,从而利用函数的单调性进行求解.

变式(2020 年全国Ⅱ卷理11)若2x－2y＜3－x－3－y,则( ).

A.ln(y－x＋1)＞0 B.ln(y－x＋1)＜0

C.ln|x－y|＞0 D.ln|x－y|＜0

解析由2x－2y＜3－x－3－y,可得2x－3－x＜2y－3－y.令f(x)＝2x－3－x,由指数函数的单调性可得f(x)在R上单调递增,且f(x)＜f(y),所以x＜y,即y－x＞0.因为y－x＋1＞1,所以

故选A.

点评把不等式变形,使不等式左、右两边结构形式完全相同,通过构造函数,结合函数的单调性求解.

1.2 利用同构法求解参数取值范围问题

例2(2020 年新高考Ⅰ卷21,节选)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.若f(x)≥1,求a的取值范围.

解析方法1构造函数法

f(x)＝aex－1－lnx＋lna＝elna＋x－1－lnx＋lna≥1等价于elna＋x－1＋lna－1≥lnx等价于elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx.

令g(x)＝ex＋x,上述不等式等价于g(lna＋x－1)≥g(lnx),显然g(x)在R 上为增函数,则lna＋x－1≥lnx,即lna≥lnx－x＋1.

令h(x)＝lnx－x＋1,则,在(0,1)上,h′(x)＞0,h(x)单调递增;在(1,＋∞)上,h′(x)＜0,h(x)单调递减,所以hmax(x)＝h(1)＝0,则lna≥0,即a≥1,故a的取值范围是[1,＋∞).

点评解题的关键是在变形的基础上连续进行五次等价转化,第一次等价转化为不等式elna＋x－1＋lna＋x－1≥elnx＋lnx;第二次等价转化为不等式g(lna＋x－1)≥g(lnx);根据g(x)的单调性,第三次等价转化为lna≥lnx－x＋1;令h(x)＝lnx－x＋1,第四次等价转化为求h(x)的最大值;第五次转化为关于a的对数不等式lna≥0,解得a的取值范围.

方法2“改头换面”切线放缩法

由f(x)≥1,得aex－1－lnx＋lna≥1,等价于

由①和③得lna＋lnx＋1≥lnx－lna＋1,即2lna≥0,所以lna≥0,故a≥1.

点评在解决含有指数式和对数式混合型不等式问题时,有时在同构的基础上结合切线放缩可以有效降低此类问题的难度.利用ex≥x＋1,x－1≥lnx将ex和lnx同时放缩成直线,这种方法称为“改头换面”.

方法3构造“形似”函数法

点评本题先将原不等式等价变形,使其左、右两边具有“形似”结构,再构造“形似”辅助函数g(x)＝xex解题.解题的关键是将不等式转化为函数的最值问题,再利用导数求该函数的极值(最值),然后构建不等式求解.

变式若不等式ln(x＋1)－a(x＋1)＞x－aex在x∈(0,＋∞)上恒成立,求实数a的取值范围.

方法2设g(x)＝lnx－ax,则x－aex＝g(ex),不等式ln(x＋1)－a(x＋1)＞x－aex在x∈(0,＋∞)上恒成立,等价于g(x＋1)＞g(ex)在x∈(0,＋∞)上恒成立.又ex＞x＋1在x∈(0,＋∞)上成立(证明过程略),所以x＋1＞1,ex＞1,故g(x)＝lnx－ax在x∈(1,＋∞)上单调递减,故g′(x)＝在x∈(1,＋∞)上恒成立,而∈(0,1),所以a≥1,故a的取值范围是[1,＋∞).

点评形如ea±a≥b±lnb型的不等式一般有两种同构途径:

1)ea±a≥elnb±lnb,构造函数f(x)＝ex±x;

2)ea±lnea≥b±lnb,构造函数f(x)＝x±lnx.

方法1是以不等式右边的表达式为标准构造函数,方法2 是以不等式左边的表达式为标准构造函数,再借助函数的单调性求解.

1.3 利用同构法解决函数中的最值问题

点评解题的关键是进行xex＝elnx＋x的转化,把含有指数式xex化为含有指数和对数式elnx＋x的同构式,再利用切线不等式ex≥x＋1放缩.常见的同构变形有

变式已知对任意实数x＞0,不等式2ae2xlnx＋lna≥0恒成立,求实数a的最小值.

点评解题的核心是把不等式两边化为同构式,分别构造函数,利用函数的单调性得到关于a的不等式,再利用参变分离构造函数求最值.比较这3种方法可知方法3最简单,因为构造出的函数的单调性最明显,所以在遇到乘积型问题时,两边取对数是比较简单的方法.

1)形如乘积型aea≥blnb的同构,一般有三种同构途径:

1.4 利用同构法解决与方程根有关的问题

变式已知x0是方程2x2e2x＋lnx＝0的实数根,则关于实数x0的判断正确的是( ).

方法1由2x2e2x＋lnx＝0,得

方法3由2x2e2x＋lnx＝0,得2x2e2x＝－lnx,两边取自然对数得2x＋ln(2x2)＝ln(－lnx),则

得g(2x)＝g(－lnx),所以2x＝－lnx,即2x＋lnx＝0,故选C.

点评方法1 是以左边的函数为目标,构造函数g(x)＝xex,方法2是以右边的函数为目标,构造函数g(x)＝xlnx,方法3是两边取自然对数构造基本函数,显然方法3较简单.以上三种方法都用到了同构思想,一题多构殊途同归,体现了思维的灵活性.

1.5 利用同构法解决不等式证明问题

例5(2014年全国Ⅰ卷理21)设函数f(x)＝,曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.

(1)求a,b;

(2)证明:f(x)＞1.

又h′(x)＝e－x(1－x),所以当x∈(0,1)时,h′(x)＞0,当x∈(1,＋∞)时,h′(x)＜0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,故

点评若不等式中同时含有指数式和对数式,则在证明过程中要进行指、对分离(“一分为二”),把指数式和对数式分别放在不等式的两边,采用“分而治之”的策略分别求出不等式两边函数的最值.

点评同构主要原理:若F(x)≥0 能够变形成f[g(x)]≥f[h(x)],则可利用f(x)的单调性进行转化,如若f(x)单调递增,则转化为g(x)≥h(x).

1.6 利用同构法解决双变量问题

点评对于含有二元变量x1,x2的函数,常见的同构类型有以下几种:

点评题目中出现x1,x2,f(x1),f(x2)的对称数据,因而我们可以把x1和f(x1)放在一起,把x2和f(x2)放在一起,两个变量没有等量关系,具有任意性,故可以化为同构式,构造新函数,再结合函数的单调性求解.

2 小结

运用同构法构造函数是高中数学解题的一种常见方法,尤其对于涉及包含指数、对数函数混合的不等式问题有着巧妙应用.在解题过程中要充分挖掘题目结构式隐含的共性特征,通过观察、分析,不断变形等将之转化为结构相同的式子,再构造函数,利用函数的单调性或不等式放缩等方法解决问题.

(完)