例谈对数函数单调性的应用

袁德成

(山东省临沂市沂水县第二中学)

对数函数y＝logax(a＞0,且a≠1)的单调性是由底数a决定的,当a＞1时,它在(0,＋∞)上是增函数,当0＜a＜1时,它在(0,＋∞)上是减函数.

1 求与对数函数有关的复合函数的单调区间

当一个复合函数中出现对数函数时,要求这个函数的单调区间,必须同时关注内函数与外函数的单调性,利用“同增异减”原则来确定原函数的单调区间,同时需注意函数的定义域.

由二次函数的图像与性质,可知函数u＝－x2＋6x－5在(1,3)上单调递增,在[3,5)上单调递减,又由函数为单调递减函数,故函数f(x)的单调递增区间是[3,5).

点评本例中复合函数的外函数是对数函数,内函数是二次函数,因为外函数是减函数,所以要求原函数的增区间,就是求内函数在函数定义域内的减区间.

2 与对数函数有关的复合函数的最值问题

求函数最值,最简捷且有效的方法就是利用函数的单调性.当函数表达式中含有对数函数时,一般需关注它的单调性,充分利用单调性来求解函数的最值.

则g(t1)＞g(t2),所以函数g(t)在[2,＋∞)上单调递增,故当t≥2时,g(t)≥g(2)＝3,所以

故选B.

点评本题属于复合函数的值域问题,外函数是单调递减的对数函数,所以欲求原函数的最小值或最大值,只需求内函数的最大值或最小值.

3 比较对数值的大小

比较对数值的大小,可以先找到或构造一个函数,再考查它的单调性.

点评本例采用了作差法比较大小,同时需要分类讨论,而最终起决定性作用的是利用了y＝上单调递减这个性质.

4 求解不等式问题

求解对数不等式的关键是“去掉”对数符号,将其转化为一般的不等式,这就需要逆用对数函数的单调性.

点评本例中,由于底数a的范围没有确定,所以需要分类讨论.求解这类问题时,往往需要将常数表示成对数形式,常见的有0＝loga1,1＝logaa.

5 已知函数单调性确定参数范围

这类问题给出的函数往往是复合函数,外函数为对数函数,内函数为一次函数或二次函数,当原函数在某区间上的单调性确定时,我们应该分别确定内、外函数的单调性,由此列出不等式或不等式组,进而求出参数的取值范围.

例5已知函数在[－2,2]上单调递增,则m的取值范围是( ).

A.(2,3) B.[2,＋∞)

C.(－3,2) D.[2,3)

点评本题中的外函数是对数函数,它的单调性已经确定,为增函数,故只需内函数在给定的区间内也为增函数即可,此外还得保证它在给出的区间上的函数值恒正.

6 对数函数单调性的综合应用

对数函数单调性的综合应用一般出现在解答题中,可以是利用对数函数的单调性求函数值域,这类问题综合性较强.

点评求解本题第(1)问关键是求出内函数的值域,然后结合对数函数的单调性求出原函数的值域,第(2)问与例5相仿.

通过以上分析不难发现,对数函数单调性的应用问题一般都可以转化为不等式来处理,而对数型复合函数是考试命题的重点,我们应引起重视.

(完)