导数法处理不等式恒成立问题的几种简化思维

王玉莹

(山东省济宁市邹城市第二中学)

不等式恒成立问题是高考常考题型,解题的核心思想是构造函数求最值.此类问题中大多含有参数,求解过程需要对参数的可能取值进行讨论,下面介绍几种可简化讨论的特殊思维.

1 先猜再证

例1已知函数f(x)＝ex(lnx－m),若∀x∈[1,＋∞),f(x)≥－1恒成立,则实数m的取值范围是_________.

点评不等式f(x)≥－1在x∈[1,＋∞)上恒成立,则∀x0∈[1,＋∞),不等式f(x)≥－1均成立,进而可通过特值检验,先猜测出参数的范围,再给出证明.

2 变更主元

例2已知函数f(x)＝mx2－x－lnmx,是否存在m＞0,使得f(x)≥0恒成立? 若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.

解析假设存在满足条件的m,使得mx2－xlnmx≥0恒成立,视m为主元,设g(m)＝mx2－x－lnmx,则g(m)≥0,即gmin(m)≥0.

点评若按常规解法,即直接求函数f(x)＝mx2－x－lnmx的最小值,需要对m的取值进行分类讨论,过程较为烦琐,视m为主元,可以有效简化解题过程.

3 参变分离

例3已知函数,若f(x)的图像上的点都在直线y＝kx－1的下方,求k的取值范围.

所以h(x)在(0,＋∞)单调递减.

又h(1)＝0,故当x∈(0,1),g′(x)＞0,g(x)单调递增;当x∈(1,＋∞),g′(x)＜0,g(x)单调递减,故当x＝1时,g(x)取得最大值,且

综上,k的取值范围是(1,＋∞).

点评参数分离后,将所求问题转化为求不含参函数的最值,从而简化了解题过程.应用参数分离法解题时,要注意分离过程中不等式变形的等价性.

4 放缩变换

当x－lnx3＝0,即x－3lnx＝0时,等号成立.

令h(x)＝x－3lnx,则h(1)＝1＞0,

所以存在x∈(1,e),使得等号成立.

综上,实数a的取值范围是(－∞,－3].

点评在解答题的求解中应用切线不等式进行放缩时,要给出其证明过程.常用的切线不等式还有ex≥ex,x－1≥lnxx≥lnx等.

5 同构转化

例5已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna,若f(x)≥1恒成立,求a的取值范围.

又g′(x)＝ex＋1＞0,所以g(x)为增函数,g(lna＋x－1)≥g(lnx)等价于

设h(x)＝lnx－x＋1,则,所以当x∈(0,1)时,h′(x)＞0,h(x)单调递增;当x∈(1,＋∞)时,h′(x)＜0,h(x)单调递减,故hmax(x)＝h(1)＝0,则lna≥0,即a≥1.

综上,a的取值范围是[1,＋∞).

综上,针对不等式恒成立问题,除了要掌握常规的解题方法外,还要注意总结上述特殊思维,明确这些思维的适用条件,才能使解题游刃有余.当然同一道题目也可能能用多种思维方法来解决,感兴趣的读者可以自行尝试.

(完)