数学语言：发展学生数学核心素养的重要载体

王玉珍

［摘  要］ 数学语言是数学思想的外壳，也是数学文化的表征。在小学数学教学中，教师要引导学生进行数学语言提取、数学语言加工、数学语言建系，让学生经历横向数学化、纵向数学化以及结构数学化的过程。从数学语言入手，从数学语言的转换、建系入手，能有效提升学生的数学学习力和发展学生的数学核心素养。

［关键词］ 小学数学；语言转换；核心素养

学习任何一门学科，归根结底是掌握该学科的语言。数学学科的语言具有自身的独特性，比如简洁性、精确性、严谨性、抽象性等。数学学科语言包括概念语言、符号语言和图表语言等，学生的数学学习就是在不同形态的数学语言中穿行。在小学数学教学中，教师应根据数学学科内容的特质以及学生的具体学情，采用相应的教学策略，引导学生进行语言转换。通过语言转换，提升学生对数学语言的解读力，激活学生的数学思维，催生学生的数学想象，助推学生的数学创造。数学语言是提升学生数学学习力和发展数学核心素养的重要载体。

一、语言提取：引导学生经历横向数学化

学生在数学学习中首先遇到的不是数学的符号、图表等，而是文字。文字是学生的生活经验的表征。在实施数学教学时教师要善于提取相关的文字内容，引导学生从文字所表征的生活化的内容过渡、发展到数学化的内容。从生活语言到数学语言，是数学语言转换的开始。小学数学涉及的内容十分广泛，包括相关的生产性内容、生活性内容甚至科学性内容等。

荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：数学化分为横向数学化和纵向数学化［１］。“横向数学化”指从生活化、生产性的内容过渡、发展到数学学科的内容。

从生活语言过渡、转换到数学语言，一是要让学生理解文字内容的指向，即文字内容所现出要解决的问题；二是要让学生理解文字内容背后所关联的数学学科知识，即文字内容所表征的生活事实需要应用到的数学知识；三是要让学生感悟到解决文字内容所表达的问题需要应用的数学思想方法与策略。

为了促进学生对文字叙述内容的生活化提取，教师一方面要培养学生的文字理解能力，让学生抓住常用的、常见的一些文字语言，比如“增长一倍”“增长20%”等；另一方面可以将文字所表述的内容直观化、形象化、可视化，比如可以让学生根据题意画图、根据题意表演等。凡此种种，都有助于学生将文字语言、生活语言转化成数学语言。通过对相关的生活语言、文字语言的提取，能让学生在数学学习过程中学会读题、析题，学会辨析相关文字表述、生活表述的非数学化内容和数学化内容等，学会在对生活语言、文字语言的解读中提炼数学性、本质性的内容。

比如教学“分数除法应用题”时，学生对“增长10%”这样的生活表述常常理解不到位，从而导致分析问题、解决问题遇到相应的障碍。基于此，教师在教学中要引导学生进行语言的提取、转化。比如：“增长哪一个数量的10%？”“哪一个数量比哪一个数量增长10%？”“10%表示的是哪一个数量？”“哪一个数量是标准量、哪一个数量是比较量？”“哪一个数量是单位‘1’的量？”“‘增长10%’这样的一个关键句中蕴含着怎样的数量关系？”

通过这样的追问，引导学生从生活语言、文字语言中建构数学语言，即能写出“数量关系”。通过这样的追问，促进学生提取数学语言，促进学生对数学语言的理解、掌握。

将日常的生活化语言、文字性语言提炼成数学语言，并用数学的思维来认知、思考、探究，能引导学生在数学学科语言与生活语言建立一种“映射关联”。将生活语言、文字语言转化成数学语言，有助于学生应用自身的数学思维、认知来分析数学语言，进而提高解决问题的能力。

二、语言加工：引导学生经历纵向数学化

“纵向数学化”是指在数学的世界中对数学符号、数学语言的生成、重塑和被使用。教师要引导学生对数学语言进行深度加工、精加工，让学生的数学语言不断地走向简洁、规范、科学。在教学中，教师要引导学生进行数学语言表达，为学生的数学语言表达注入逻辑的力量，让学生的数学语言变得简洁缜密，让学生的数学语言能有效地表达数学思维，让学生的数学语言成为数学思维的直接现实。

引导学生对数学语言进行加工，不仅要在逻辑性、严谨性上加工，还要让数学语言能表达出数学知识的本质、能表达出数学知识背后的思想方法，并鼓励学生应用符号、图像、图形、表格、箭头等进行多样化的表达。从某种意义上说，学生对数学语言的理解、掌握和应用确证与表征着学生的数学核心素养。

比如教学“用字母表示数”时，教师要让学生深刻地感受、体验“用字母表示数”不是简单地“用字母代替数”，而是运用“符号化”“形式化”“公理化”对数学知识进行表征与确证的数学化过程。比如，当小明10岁的时候，他的爸爸是35岁；当小明11岁的时候，他的爸爸是36岁……当小明50岁的时候，他的爸爸是75岁。在这个过程中，什么是变化的、不确定的量？什么是确定的量呢？

当学生用数学符号“x”来表示小明年龄的时候，就必须让学生认识到“x”可以表示的数。小明爸爸的年龄可以怎样表示？在这个过程中，有的学生一开始就是简单地用符号代替数，比如有的学生用“y”来表示小明爸爸的年龄。当教师启发、引导学生开展数学化思考、探究之后，学生开始进行关系性的数学思考，有的学生用“x+25”来表示爸爸的年龄。由此，学生就能深刻地认识到用字母可以表示变化的、不确定的量。同时，用字母来表示变化的、不确定的量是有一定的范围的（定义域）。“用字母表示数”不仅能表示变化的量，而且能表示确定性的关系。通过引导学生对相关数学语言进行加工，能让学生感受、体验到数学语言的力量。学生发现，数学语言不仅能有效揭示数学知识的学科本质，同时还有助于揭示数学学科知识的逻辑。在数学学科教学中，教师要给学生打造一个语言加工的平台，赋予学生语言加工的契机，创设一个有助于学生进行语言加工的场域，让学生能积极主动地进行语言加工。

对数学语言的深度加工、精加工，其实就是数学语言之间的转换。数学语言转换的关键是要引导学生经历数学知识符号化、形式化的纵向数学化过程。在教学中，教师不仅要引导学生创造符号（比如教学中让学生用△、☆等图形来表示小明的年龄），更要引导学生优化符号、完善符号。只有引导学生积极主动地用数学语言来表征和对数学语言进行优化，才能让學生习得数学语言精加工、深度加工的经验。引导学生对数学语言进行深度加工、精加工，不仅要让学生的语言表达有条理，要让学生的语言表达有根据，还要让学生的数学语言表达有目标、有方向、有动力。

三、语言建系：引导学生经历结构数学化

在数学教学中，有时候同一个学习对象可以用不同的符号来表示，比如用符号来表示计算中的“运算律”等；有时候不同的学习对象可以用同一个符号来表示，比如用“v”来表示速度，用“V”来表示体积等。教师要引导学生对数学语言进行整体性、系统性的梳理，让学生建立一个有效的数学语言体系，引导学生经历知识学习的“结构数学化”。引导学生建立数学语言体系，有助于学生应用数学语言进行表达；引导学生建立数学语言体系，不仅能促进学生对数学知识本质的理解，而且能让学生把握数学学科知识的关联，洞察数学学科知识的来龙去脉。

在数学语言中，数学的概念、公式、定理、法则等具有独特的本质、关联和意义。数学教育家斯托利亚尔说，“数学教学就是数学语言的教学”［２］。学生数学学习的过程就是数学语言不断形成、不断优化、不断丰富的过程。在数学教学中，教师要引导学生用数学的语言描述、用数学的语言交流、在数学的语言中思考。

比如，教学“多边形的面积”这一单元的相关知识之后，笔者引导学生用数学语言来描述“多边形的面积公式”：一方面，要求学生对“多边形的面积公式”进行意义赋予、过程回顾，进一步巩固学生的数学语言；另一方面，要求学生对“多边形的面积公式”从数学语言的高度进行整理、建系。在教学中，笔者以“梯形的面积公式S=（a+b）h÷2”为抓手，引导学生整理、疏导多边形的面積公式。通过语言建系，让多边形的面积公式成为一个具有较强结构功能的数学语言系统。在语言建系的过程中，笔者有意识地追问学生：“S”表示什么？“a”表示什么？“b”表示什么？“a+b”又表示什么？相当于原来平行四边形的面积公式中的什么？“h”表示什么？相当于原来平行四边形面积公式中的什么？为什么要“÷2”？当“a=0”时，梯形的面积公式怎样表示？怎样理解这个时候的梯形面积？当“a=b”时，梯形的面积公式怎样表示？怎样理解这个时候的梯形面积？当“a=b=h”的时候，梯形的面积公式怎样表示？怎样理解这个时候的梯形面积？

通过这样的引导、追问，不仅巩固了学生对梯形的面积的认知，而且沟通了“梯形的面积公式”与“平行四边形的面积公式”“三角形的面积公式”“长方形的面积公式”“正方形的面积公式”之间的关联。有的学生说，梯形的面积公式是“万能的”；有的学生说，梯形可以演变为三角形，也可以演变为平行四边形、长方形、正方形等图形；有的学生说，我们只要把握了梯形的面积公式，就能建构出其他多边形的面积公式等。通过对多边形面积公式的数学语言追问，学生能真正把握数学知识的逻辑性、层次性。因此，教师以梯形的面积公式的数学语言为抓手，能够让学生把握多边形面积公式之间的关联、区别，促进学生对多边形面积公式数学语言的整体性建构。

数学是一门语言，数学学科中的各种概念、定理、公式以及法则、性质等无一不是数学语言。在引导学生数学语言建系的过程中，教师不仅要引导学生掌握数学语言的表象代码，还要引导学生掌握数学语言的语义代码［３］。只有借助数学语言的表象代码、语义代码，才能让学生有效地解读数学语言。数学语言是数学知识、数学思想、方法等的载体、媒介，同时也是数学知识、数学思想、方法的重要组成。数学语言负载于数学知识之中、蕴含在数学思想、方法之中。教师引导学生用数学语言表达，不仅要让学生用数学语言“说话”，更重要的是要通过数学语言激发学生思维、催生学生想象、引发学生对相关内容的深度探究。

数学语言是数学思想的外壳，也是数学文化的表征。借助数学语言，能引导学生理解相关的数学概念、法则、定理等，建构数学知识，开展数学思维、探究，感悟数学文化、领悟数学精神。在数学教学中，教师应从数学语言、数学语言的转换、建系入手，积极打造数学语言表达的平台和拓展学生的数学语言表达时空，让学生的数学语言表达更自主、更灵动，让学生在表达中感受、体验、认识到数学语言的意义和价值，促进学生的数学学习走向丰富、深刻和睿智。

参考文献：

［１］ 史宁中． 数学思想概论（第１辑）：数量与数量关系的抽象［M］． 长春：东北师范大学出版社，２００８．

［２］ 杨慧娟． “数学表示”的建构主义特征分析［Ｊ］． 重庆师范学院学报（自然科学版），２００２（0２）．

［３］ 彭纲. 促进数学核心素养发展的深度学习活动设计研究［Ｊ］. 中小学教材教学，２０２２（0４）.