两类与三角形有关的题目的解法

蔡金兵

高中数学中与三角形有关的问题比较常见，这类问题常与函数、三角函数、平面向量、解三角形、圆、直線等知识相结合.这类问题侧重于考查正弦定理、余弦定理、面积公式、勾股定理、三角函数定义的综合应用.下面主要讨论一下与三角形有关的平面向量问题和三角函数问题的解法.

一、与三角形有关的平面向量问题

与三角形有关的平面向量问题，通常会给出一些有关三角形三边的向量关系，要求根据题意求某条线段的方向向量的模长、数量积、夹角及其三角函数值.解答这类问题，往往要先根据向量的加法、减法、数乘运算法则，利用数量积公式、模的公式进行运算，将向量关系转化为三角形三边、三角之间的关系；然后通过解三角形，利用正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函数的定义求得问题的答案.

两种解法都是先根据平面向量的数量积公式，将向量关系式转为三角形三边、三角之间的关系，这样就问题转化为解三角形问题，利用正余弦定理进行边角互化，求得边角之间的关系，进而求得问题的答案.不同的是，解法一是将边化为角，通过三角恒等变换，求得结果；解法二是将角化为边，求得三边之间的关系，再求各角的正弦值及其关系.

二、与三角形有关的三角函数问题

与三角形有关的三角函数问题，往往会给出与三角形的三个角有关的三角函数式，要求三角形的边、角的大小或关系式的值.解答这类问题，需先灵活运用正余弦定理进行边角互化，根据勾股定理建立边角之间的关系；然后灵活运用三角函数中的诱导公式、和差角公式、二倍角公式进行恒等变换，以化简代数式或目标式；最后根据三角函数的图象与性质求得问题的答案.

对于第一个问题，解法一是采用弦化切的技巧化简已知关系式，并利用正切函数的单调性求得角B的大小；解法二是逆用、正用余弦的和差公式来化简已知关系式；解法三是灵活运用二倍角公式和辅助角公式来化简已知关系式.对于第（2）题，则需根据正弦定理和三角形的内角和定理，将目标式化为关于sinC的式子，然后利用基本不等式求得最值.

总之，解答与三角形有关问题，需注意：（1）利用正余弦定理进行边角互化；（2）明确三角形三角之间的关系，如三个内角之和为 180°，锐角的范围为（0，90°），钝角的范围为（90°，180°）；（3）灵活运用三角恒等变换的技巧化简关系式.

（作者单位：江苏省启东市汇龙中学）