指向整体建构的数学结构化教学的五个发生路径

陈力

【摘 要】结构化教学是当前减负增效的重要抓手，也是研究数学有效教学的重要切入点。“教师要有结构化思想，教材提供结构化内容，学生进行结构化理解”是结构化教学的三个基本要素。围绕这三个基本要素，教师可在“整体规划”“单课教学”“单元教学”“设计练习”“整理复习”五个发生路径上深度实施结构化的教与学。

【关键词】小学数学 整体建构 结构化教学 发生路径

所谓结构化教学，是指将某个板块的知识视为一个整体，搞明白此整体的内在结构（部分与部分以及部分与整体之间的内在关系），找到统摄该结构的核心思想与策略方法，在这些核心思想与策略方法的统摄下，展开“结构性地教、关联性地学”的整体规划，努力做到承前启后、不断进阶，在逐步实施教学中采用结构化的材料和手段，发展学生的结构化思维和整体建构学习能力。

结构化教学追求“整体建构”的目标方向，在具体操作中强调“整体关联性”和“动态建构性”，即备课时教师用“整体结构化思想”去钻研教材，为学生设计出整体规划统领下的“结构化内容（材料）”；课堂上教师运用结构化教学手段，引领学生对结构化的学习内容展开结构化理解和整体建构活动，从而真正实现教师有结构地教和学生整体建构地学。如此不断开展结构化教学，学生的整体建构力定会逐步提升。

围绕结构化教学的基本要素，结合数学的课型特点，我们从以下五个发生路径采取实践应用策略来促进“结构化教学”与“整体建构性学习”的深度实施（见图1）。

一、“整体规划”结构化：以“核心思想”为统率

结构化数学教学的深度实施要从规划起步。此规划具有整体性和系统化的特征，教师放眼大板块与大概念，首先将某个领域的体系进行整体性规划，再将大任务进行分解与执行。整体规划能不能实现“结构化”，关键在于能否抓住核心思想方法来统率整个板块知识，因为策略与思想方法能超越具体的知识而使其具有结构化的迁移功能。因此，将这些策略与思想方法贯穿在板块的整体教学之中，促进整体建构，教师要努力做到：前有孕伏、承前启后、形成合力。

1. 实施策略

教师在教学新板块知识之前，首先通读一遍该领域的所有教材内容，将其整理成一个整体的知识结构网，从中发现起统率作用的核心思想与策略方法，在核心思想与策略方法的统率下规划出不断进阶的目标任务，提出与目标任务配套的教学措施，进而为后面逐步深入开展结构化教学做好顶层设计、绘好宏观蓝图。

2. 应用案例

根据以上策略，我们对小学数学的所有板块进行“整体规划结构表”的研制。表1为“角的系列”板块整体规划结构表。

二、“单课教学”结构化：以“本质沟通”为纽带

此处的“单课教学”是不打乱教材的原编排体例，按照教参上提出的单课课时顺序展开教与学。在“单课教学”中同样能深入实施结构化的教与学，而且“单课教学”覆盖面广，各种层次的数学教师都可以适应，因此，把这种课型进行结构化教学的推广有其普遍适用的优点。这种课型怎样有效进行结构化的教与学呢？数学教师要胸中时时怀有结构化的思想和整体教学意识，不孤立地进行某个知识点的教学，将某个知识点放在整体结构中去剖析，弄清部分与部分以及部分与整体之间的内在关联性。

1. 实施策略

一方面，将一个课时当成小整体系统，用结构化策略优化其内在的组成要素，开展整体建构性教学；另一方面，将本课时内容放到更大的整体模块中去分析，用课时之间的共同本质作为纽带，在共同本质内涵的统摄下规划和设计好每个单课时的结构化目标内容，提供有利于迁移的结构化学习材料，引领学生展开基于结构化理解的整体建构性学习。结构化单课教学基本模式见图2，具体教学时根据实际情况会有一些变化。

2. 应用案例

教师教学“异分母分数加减法”，将这节课放到“加减计算”这个结构模块中去审视，就会发现该结构模块的共同本质是：相同计数单位个数的累加或相减。该知识点与“同分母分数加减法”存在着转化关系，而分数加减与小数加减、整数加减之间存在着共同本质。因此，本课教师就以“本质沟通”为纽带，带领学生进行整体建构性学习，给学生提供结构化的学习材料。首先，复习“整数加减”—末位对齐是为了相同数位对齐，相同计数单位的个数相加减；其次，复习“小数加减”—小数点对齐是为了相同数位对齐，相同计数单位的个数相加减；再次，引导学生进行结构化类推，分母相同是为了分数单位相同，相同计数单位的个数（即分子）相加减，而异分母只要进行通分就能转化为同分母，就能进行共同本质统摄下的迁移性学习；最后，形成关于“整数、小数、分数”整体算理和算法的认知结构系统（见图3）。

图3 小学阶段加减法本质的大统整

三、“单元教学”结构化：以“整合重组”为抓手

结构化教学要充分发挥结构功能，实现“1+1＞2”的效果。所谓“单元教学”结构化，就是对单元范围内的知识结构进行整体分析，寻找单元内部分与部分、部分与整体之间的内在联系，然后开展基于单元范畴的结构化教学和整体建构性学习。

1. 实施策略

基于单元范畴的结构化教学主要有两种情况：一种是在单元整体思想统率下，按照教材的计划进行课时教学，此做法主要体现了结构化整体思想的统领与联通作用；另一种是用整体改革理念去审视教材的体系，如果发现它有局限性，就运用单元整体改革的思想，对教材展开整合或重组，用新的结构组成开展教与学，这类结构化创新教学对教师能力要求较高，适合骨干教师去尝试。根据不同类型特征，教师可采取如下相應的整合重组措施（见表2）。

2. 应用案例

北师大版三年级上册第六单元“乘法”，教材编排体系是：第1课时—两、三位数乘一位数（不进位）；第2课时—两位数乘一位数（一次进位）；第3课时—两、三位数乘一位数（连续进位）。该单元有两个核心目标：一是体会标准竖式的简洁性；二是感受从低位算起的必要性（口算是高位算起）。如果按照教材顺序按部就班展开学习，学生会对这两个目标缺乏整体认知，对标准竖式的价值和从低位算起的必要性难以获得深刻体验。比如，12×4的笔算，学生会用以下一些算法：分3个独立的竖式；同一个竖式中分两步；一个竖式一步完成。这些算法在两位数乘一位数的不进位笔算中并不显得烦琐，但在三、四位数（或更多位数）乘一位数时，前两种方法写起来就很长了。怎样才能既简洁又把计算过程表达清楚呢？这就显示出标准竖式的价值了，因为它是基于位值的数字计算。另外，如何让学生体会从低位算起的必要性？如果是“不进位乘法”，从高位算起也很方便。只有“进位乘法”，特别是“连续进位”，才能让学生体会到从低位算起的优势。因此，为了让学生获得深刻的整体体验，教师要对本单元进行结构化统整与重构：将原来的3课时内容通过合并、调序或增减等手段重新安排，把“两位数”和“多位数”、“不进位”和“进位”整合在一起探索。第1课时是统整内容的初步认识（从进位乘法入手），第2课时进行统整内容的深入探究（增加四、五位数乘一位数的内容），第3课时开展拓展性练习和综合应用，从而使学生展开结构化学习，对“多位数乘一位数”的算理和算法形成结构化思维与整体性认知。

四、“设计练习”结构化：以“模块题组”为载体

数学结构化练习处于巩固应用环节，是教师追求轻负高质的一个重要“脚手架”。它以“模块题组”为载体，以结构化超越碎片化，以“题组”取代“题海”。具体来说，就是教师把新知分解成一个个模块（以一节课或一个单元为界），弄清模块的结构组成，围绕模块结构中核心要素的生发过程，运用结构化的思维设计相配套的练习题组，通过结构化题组的训练，促进学生对新知模块结构化理解的形成、巩固、深化与拓展，以最优的题组结构练习实现“以少胜多”的目的。

1. 实施策略

一方面，要精准吃透“模块结构”的内涵与组成，弄清该知识模块的数学本质，对其进行结构剖析，剖析出核心要素及其相互关联，并围绕该模块结构的生发与完善过程提供相应的练习；另一方面，要尽力优化题组结构设计，遵循分层渐进的原则，由封闭到开放，安排形成题、基础题、变式题、延伸题等不同练习梯度，采取结构化的对比辨析、同模变题、逆向编题、内联沟通等方法进行最优组题。根据数学模块结构发生流程中的各阶段特点，可设计以下同步题组结构练习。

（1）模块结构“生成”阶段—用“形成性”题组促成型

以一节新授课作为一个模块结构，教师要通过有序的认知流程，帮助学生建立一个初步的新知结构。为了有效促进学生新知结构的顺利生成，教师要找准新知模块结构中的核心要点，针对这些核心要点提供配套的“形成性”练习，并使这些习题之间具有某种结构关联性，通过结构化题组形成合力，共同促进学生新知模块的初步动态生成。

（2）模块结构“巩固”阶段—用“基础性”题组促定型

前一环节中学生通过“形成性”题组已初步生成了新知模块的认知结构。该结构还不是很稳定，需要进行一些巩固活动。教师要对新知模块进行深度剖析，找准结构中起决定性作用的本质要素，针对这些本质要素安排“基础性”题组结构练习，帮助学生进行即时巩固。教师遵循由封闭到半开放再到全开放的循序渐进原则，由具体到抽象，逐步递进，抓住相同点进行提炼，根据不同点进行辨析，以少而精准的“基础性”练习对学生初步形成的模块结构进行首次巩固。

（3）模块结构“深化”阶段—用“变式性”题组促变通

“巩固”阶段的训练以基础性和模仿性为主，之后学生还需要经过一个“深化”阶段才能灵活地解释和应用模块知识，并使技能向技巧发展。教师要精心设计“变式性”题组结构练习，让学生在课堂上巩固。学生通过少而精的结构化求联训练，获得深刻而灵活的理解与掌握。“变式性”题组结构练习是指教师围绕新知模块结构，变化呈现形式和应用角度来设计一组具有内在结构关联的练习题，目的是训练学生对所学知识进行灵活变通的能力。设计“变式性”题组结构练习，可采取同模变题、逆向编题、举一反三等策略。

（4）模块结构“拓展”阶段—用“延伸性”题组促入构

根据结构化教学的思想，最后还有一个“拓展”阶段。此阶段主要是将该模块结构拓展延伸到新情境中，扩大使用对象，并将结构相同的不同对象之间进行沟通归总，使学生领悟其内在相通性，实现结构性类推迁移，最终形成结构系统。此阶段主要为学生设计“延伸性”题组结构练习，通过练一组题通一类题，发现题目之间的本质联系，找到其中的通性、通法，进而将学生引向高阶思维与深度学习之中。设计“延伸性”题组结构练习可采取一题多延、一模拓用、求联归总等策略。

2. 应用案例

学习“小数乘法”一课，其模块结构是：先按整数乘法去乘，积的小数位数等于所有乘数的小数位数之和。教师围绕该模块结构，在学生进行了“基础性”的顺向巩固之后，采用逆向编题策略，设计以下“变式性”题组：已知3.2×5.4=17.28，在括号里填上适当的数，①3.2×（ ）=172.8；②0.32×（ ）=0.1728；③（ ）×5.4=1.728；

④（ ）×0.054=17.28；⑤（ ）×（ ）=0.01728。教师通过该题组的结构化训练，深化认识小数乘法的算法，并发展学生的逆向思维能力。

五、“整理复习”结构化：以“内联反思”为重心

数学课进行指向整体建构的“整理复习”结构化是落实轻负高质的另一手段。整理复习是将已学的知识和方法进行回顾性梳理，通过回头看展开反思。能不能进行有效的结构化反思，是“整理复习”结构化是否深度实施的重要指标。“整理复习”结构化是指将要复习的数学板块知识展开结构化的处理，让学生运用结构化反思进行整体梳理，连通知识之间的相互关系，编成一个结构网格，最终通过复习对整体建构性学习进行收官与升华，使“碎片化的重复”成为“结构化的整理”。

1. 实施策略

第一，对整体建构性学习过程进行回顾反思，将新知学习中用到的方法进行归纳和提炼，上升到思想方法和策略的结构高度，让它具有迁移性；第二，对模块知识进行整体性反思，重点展开沟通知识联系的整理，通过结构性的整体理解，弄清结构体系中的内在关联，生成融会贯通的总体结构知识图。结构化的复习课具体操作流程参考以下五点（部分环节可课前进行）。

（1）看书回顾·唤醒旧知

看书顺序从整到零，先从书上目錄回顾学到了哪些数学知识，接着重点关注已忘记的内容以便唤醒记忆，为后面的整理活动打好基础。

（2）自我整理·初步反思

让学生用结构图先独立展开自我整理，进行初步的结构性反思，并将自我初步整理的整体知识结构图在小组内分享，发展学生自主整理的学习能力。

（3）边练边理·织网成构

当学生经过自主整理后，教师设计有代表性的题目让学生边练边理，师生一起以题带出知识点，并通过织网整理成知识板块整体结构图。

（4）联通知识·反思方法

让学生对着整体网格图进行结构性反思，通过比较辨析来沟通知识的内在联系，对方法和策略进行提炼归纳，从而培养学生反思迁移的学习能力。

（5）综合题组·收官升华

前面以练带理中的题目是单项的，最后环节的练习要用综合题组来进行强化与升华，以增强学生整体建构性学习能力，提升综合解决数学问题的水平。

2. 应用案例

教学“统计图的复习”时，围绕上述流程，教师带领学生经过结构化整理和反思，整体建构出如下的内联结构图（见图4）。

本研究成果经各层次教师的实施检验，在有效教学的深度发生、学生学习能力和质量的提升、数学教师专业素养的提高等方面都有一定作用，为减负增效探索出了一条区域实践路径。

（作者系浙江省武义县教育局教研室正高级教师）

责任编辑：赵继莹