建构主义下“三个二次”关系的教学设计

吴越

【摘 要】  学生已经对二次函数的概念、图象、性质以及应用有所掌握，也积累了一定的方法与经验，所以在本章学习过程中，渗透、归纳函数的研究方法，适时与“三个一次”关系的探究进行比较，寻找二次函数与一元二次方程、一元二次不等式这“三个二次”之间的联系与区别，甚至站在函数、方程、不等式这三个数学模型更高的领域去看.

【关键词】  二次函数；一元二次方程；一元二次不等式

内容分析

设计一节“二次函数、一元二次方程与一元二次不等式”的总结提升课，我们要解决三个问题：为什么要学？学什么？怎么学？函数、方程、不等式是数学中重要的三大代数模型，它们之间有着紧密的联系，但三者的地位又不同，函数具有统领的地位，因此，我们有必要对这些知识重新构架整合，同时渗透思想、方法，这样有助于对知识进一步认识、理解、深化和运用.

教学重、难点

教学重点：一元二次方程、一元二次不等式、二次函数三者之间的关系；教学难点：会用函数图象法求解方程、不等式，體会利用函数图象求解方程、不等式的必要性.

教学过程

活动1 问题情境

x  3 -7x+6=0.

师   函数、方程、不等式是刻画现实世界的重要数学模型，同时它们之间又存在着密切的联系.下面首先看一个方程问题：你会解x  3 -7x+6=0这个方程吗？如果会，请你解出方程的解，如果不会，你有怎样的疑惑呢？

生   不会，这里有一个三次方.

师   我们有没有解一元三次方程的经验？

生   没有.

师   问题出在三次上，那么我们把三次改成二次，x  2 -7x+6=0，这个方程你会解吗？

生1   利用因式分解法，将方程变形为（x-1）（x-6）=0，从而得到方程的解为x  1 =1，x  2 =6.

生2   可以利用公式法.

师   这些方法都是从代数的角度解决问题，那么这个方程的解又有怎样的几何意义呢？

生   将该方程转换成二次函数y= x  2 -7x+6，这个方程的解就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.

学生活动   学生阅读并独立思考回答问题.

教师活动   请学生回答每个问题，并在黑板上写出解答过程.

设计意图   通过给出求解一元三次方程问题，让学生提出疑惑，发现问题出在三次上，然后将问题中的三次改为二次，转化为学生知识能力能够解决的问题，并回顾从代数和几何两个角度来解决问题的方法.

活动2 知识准备

y=x  2 -7x+6.

师   教师将该二次函数的图象画出来，结合图象，你能得到哪些信息呢？

请同学们带着以下学习目标：（1）二次函数、一元二次方程、一元二次不等式在形式上如何转化？（2）一元二次方程的解、一元二次不等式的解集与函数图象的联系？独立思考并将想法写在活动单上，然后进行小组讨论.学生代表展示学习成果.

生1   二次函数y= ax  2 +bx+c，令y=m，就转化为方程ax  2 +bx+c=m，即令y为定值时，就能将二次函数转化为方程.将一元二次方程中的等号改成不等号就能转化为一元二次不等式.

生2   二次函数的图象是完整的抛物线，一元二次方程的解是图象上的一个点的横坐标，一元二次不等式的几何意义是对应抛物线上的一段图象.

（总结）师   三者在形式上可以互相转化，且形式不唯一；三者在几何意义上既有联系又有区别：二次函数的图象是完整的抛物线，一元二次方程的几何意义是图象上的点，而方程的解就是该点的横坐标，一元二次不等式对应部分图象，不等式的解集就是符合条件图象上点对应的自变量的范围.

师   刚才我们令y=0，将二次函数转化为 x  2 -7x +6=0这样的一元二次方程，这里y不仅可以等于0，任意的常数都可以，即x  2 -7x+6=m，对于这个方程你又有怎样的想法？

生1   这个方程不一定有解，可以利用根的判别式来判定.

生2   利用图象法，画出二次函数y= x  2 - 7x+6 和y=m的图象，根据图象公共点的个数也可以判定方程解的情况.

师   不管是令y=0，还是y=m，对应的图象都是水平的直线，那么能否是斜线呢？还有其他的方式将二次函数转化为方程吗？

生    可以令y=kx+b，即得到ax  2 +bx+ c= kx+b这样的方程.

师   我们回到之前的问题中，将方程具体化为： x  2 -7x+6=x+1，这个方程的解的几何意义是什么？

生   y=x  2 -7x+6的图象与y= x+1的图象公共点的横坐标.

师追问   该方程的解还可以看成哪两个函数图象公共点的问题呢？

生1    两边同时减6，该方程可以转化为x  2 -7x=x-5，因此还可以看成函数y=x  2 -7x的图象与y= x-5的图象公共点的问题.

生2   两边同时除以x，该方程可以转化为x－7=1－ 5 x ，因此还可以看成函数y=x-7的图象与y=1－ 5 x 的图象公共点的问题.

（这里生2的回答是在教师的提示下得到：两边同时减6是解方程的移项的步骤，还有哪些步骤可以保证等号不变，学生想到了两边同时除以x.）

师   y=1－ 5 x 这个函数不是我们熟悉的函数，可以进一步转化为一次函数y=x-8与反比例函数y=－ 5 x ，这两个是我们学过的函数.

师   同样的不等式也有类似的结论，不再一一列举.

学生活动   小组内交流，并请小组代表上台展示自主探究的成果.

教师活动   认真倾听每个小组的交流成果并做出点评.

设计意图   学生自主探究，小组合作，全班交流加深了对二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系的认识和理解，并重新整合，构建自己的知识体系.

活动3 问题解决

x  3 -7x+6=0.

师   你现在会解x  3 -7x+6=0这个方程吗？

生   移项得：x  3 -7x=-6，两边再同时除以x，x 2－7=－ 6 x ，然后画出函数y=x  2 -7， y= － 6 x  的函数图象，找到它们的公共点.

师   请同学们画出这两个函数的图象，并求出方程的解.

学生展示画出的图象，发现有三个公共点（-3，2），（1，-6），（2，-3），因此方程的解为x  1 =-3， x  2 =1，  x  3 =2.

师   这些答案是否是准确值？我们可以代入方程检验一下.

追问   在刚才解决问题的过程中，你是否有疑问？

生   变形后的方程x不能等于0，而原方程x可以等于0.

师   说明该变形过程是非同解变形，我们有没有类似的学习经验？

生   在解分式方程中，将分式方程转化为整式方程会出现增根，而这里是将整式方程转化为分式方程会少根.

师   说明该解决方法并不是完美的，我们有没有更加完美的方法？

生   可以直接画出三次函数y=x  3 -7x+6的图象，找到它与x轴的公共点，问题是无法画出该函数图象.

师   我们虽不会画这个函数图象，但可以借助计算机帮助我们画出图象，也可以得到方程的解.这里我们是利用函数图象帮助我们解决方程解的问题，同样还能解决不等式的问题.

学生活动   每个同学独立思考，之后小组内交流，经小组讨论后，推选一种变形方式，写在大纸条上，并拍照展示.

教师活动   展示学生的例子，并询问其他同学该小组设计的对不对，有没有疑惑.

设计意图   利用二次函数图象与反比例函数图象的公共点来解决一元三次方程的根的问题，体现了将未知问题转化为已知知识的思想方法.

活动4 小结展望

师   这节课我们探究了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的关系，在形式上可以互相转化，且形式不唯一，在作用上，可以互相利用，同时我们发现函数、方程、不等式也存在相同的关系，其中函数具有统领作用，在解决问题时，以函数为核心，利用函数图象解决方程的解与不等式解集的问题，也体现了数形结合思想.我們学习知识的过程是一个由“薄”到“厚”，最终还要让知识由“厚”变“薄”，所以我们要善于发现知识之间的联系，抓住核心，这样才能站在制高点解决问题.

教学反思

建构主义学习理论强调以学生为中心，不仅要求学生由外部刺激的被动接受者和知识的灌输对象转变为信息加工的主体、知识意义的主动建构者，而且要求教师要由知识的传授者、灌输者转变为学生主动建构意义的帮助者、促进者.以探索为主线，帮助学生完成本章内容的整体建构，知道为什么要学？学什么？怎么学？从实际出发，并让学生举出生活中例子，多次感受反比例函数在现实中是普遍存在的，引起学习兴趣，明确为什么要学.通过问题前置，提出解决问题的整体思路，明确学什么？通过自学学习，小组合作交流等多种方式让学生体会探究过程，体会成功的喜悦，正是本节课的设计思路.