对一道中考几何题的变式研究

张一樯

【摘  要】  在初中几何三角形问题的学习中，题目往往侧重考查基本图形，同时条件和问题灵活多变，易成为学生学习的难点.梳理核心知识，把握基本图形，适当变式拓展是培养学生思维能力的关键.本文以2021年杭州中考数学第21题为例，谈谈如何挖掘试题内涵，进行变式拓展.

【关键词】  初中数学；三角形；变式练习

1  试题呈现

2021年杭州中考数学第21题：如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．

（1）求證：AB＝BD；

（2）若AE＝3，求△ABC的面积．

本题以三角形为背景，考查角平分线的意义，三角形内角和、外角，等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、三角形的面积等知识，难度中等.

2  变式探究

仔细观察本题的图形，不难发现本质是由一副三角板背靠背拼接而成.这对特殊三角形是初中几何三角形问题的基本图形.深究此题，可以拓展延伸出很多内容，本题的变式可以有以下几个方面.

2.1  条件不变，改变问题

变式1  如图2，增加线段AE和BD的交点O，不改变原题的条件，改变问题.

（1）求证：AO =BO；

（2）若AE =3，求OD∶OB的值.

证明  （1）因为AE⊥BC，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，

可得∠ABD =∠BAE =30°，

所以AO=BO.

解  （2）在Rt△AEB中，BE =，AB =，

在Rt△BOE中，OE =1，BO =2，

因为∠BAD =180° -∠ABC -∠C =75°，

∠ADB =∠C +∠DBC =75°，

所以∠BAD =∠ADB，AB =BD =，

所以OD∶OB =.

在原图的基础上继续深究，不难发现，图中每一个角的度数都是确定的，进而可以发现△AOD∽△CBA.因此，第二问也可以进一步加大难度，改编为思维含量更高的题型，如：求AD的长、求四边形ODCE的面积等，充分考查相似三角形的性质和判定等知识技能.

变式2  如图2，不改变原题的条件，改变问题.

（1）求证：△AOD∽△CBA.

（2）若AE =3，求AD的长.

证明  （1）因为AE⊥BC，∠ABC＝60°，∠C＝45°，

可得∠EAC＝∠C =45°，

∠BAE＝90° -∠ABC=30°，

又BD平分∠ABC，

则∠ABD =∠ABC =30°，

所以∠AOD =∠ABD+∠BAE = 60°，

则∠AOD =∠ABC，

所以△AOD∽△CBA.

解  （2）由（1）可得，在Rt△AEC中，AE = EC =3，

则AC =，

在Rt△AEB中，BE =，AB =，

则BC =3+.

由变式1得，AO =BO =2，

因为△AOD∽△CBA，

所以，

得，

所以AD =.

2.2  改变条件，深挖问题

若改变三角板叠放的方式，变背靠背为重叠放，可以产生新的情境.

变式3  如图3，在Rt△AEC中，∠AEC= 90°，∠ABE的角平分线BD交AE边于点D．已知∠ABE =60°，∠C=45°．

（1）求证：AD=BD；

（2）若AE =3，求△ABC的面积．

证明  （1）由题可知，∠ABD＝∠ABE=30°，∠C＝∠EAC = 45°，

则∠BAC=∠ABE-∠C=15°，

∠BAE=∠EAC -∠BAC =30°，

所以∠BAE =∠ABD，

所以AD=BD.

解  （2）若AE＝3，则CE =3，BE =，BC =3-，

所以.

也可以去掉原题中AE这条高，使图形变得更为简单，考查学生做辅助线构造特殊直角三角形的能力.例如：

变式4  如图4，在△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．若AB＝3，求△ABC的面积．

分析  当三角形的问题中出现特殊角时，应把特殊角放到直角三角形当中去寻找边角关系，因此过点A向BC边作垂线段，构造两个直角三角形，解直角三角形，原题就可迎刃而解.

原题的图形由于其固定性，因此所有的线段和角度都是确定可求的，我们也可以打开思路，让图形动起来，使问题变得更为灵活开放.去掉图形，改编成如下问题：

变式5  已知在△ABC中，AB =2，AC =，BC边上的高AE =，求∠BAC的度数.

解  根据题意构造图形，如图5.由AB =2，AC =，

AE =可知，∠BAE =30°，∠CAE =45° .

若高AE在△ABC内，则∠BAC =∠CAE +∠BAE = 75°.

若高AE在△ABC外，则∠BAC =∠CAE -∠BAE =15°.

在无图的情况下，需要学生自行作图尝试进行分析.由于三角形的高不确定，这个问题有两种情况，需要分类讨论.这样的问题，考验学生对数据的敏感度，作图能力和分类讨论思想.也可以在学生探究出两种情况的基础上，进一步引导他们，图中还有哪些量可以求？如求BC的长，求△ABC的面积等，以此拓展学生思维的深度.

3  结语

从这道简单的中考题里，我们通过改变问题、改变条件等方式，探究出了三角形一系列问题的广阔天地.在八年级时，这道题的图形可以利用三角形内角和来研究角度，在九年级则可以利用勾股定理和相似研究线段长度、周长、面积等.不论哪种问题，到最后都回归到某一个三角形中，尤其是特殊三角形中.因此，把握基本图形，掌握核心知识方法，锁定三角形再展开研究，这是日常教学中我们应让学生意识到的.

参考文献：

[1]鲍建生，黄荣金，易凌峰，顾泠沅.变式教学研究（续）[J].数学教学，2003（02）：6-10+23.

[2]祖惠泊.变式在初中数学教学中的应用研究[D].北京：首都师范大学，2004.

[3]谢全苗，刘淑珍.变式教学——研究性学习的一种模式[J].中学数学教学参考，2004（10）：4-6+9.