圆中辅助线作法的举例探究

杨林

【摘  要】  圆中辅助线的作法较多，作图时要充分利用圆的几何要素，串联圆中的几何特性来构建模型，如连接弦心距、连接圆心与切点、作直径所对的圆周角等.本文具体讲解其中常见的三种辅助线作法，并结合实例加以探究.

【关键词】  圆；辅助线；弦心距；圆心；直径

圆综合题的破解过程通常需要作辅助线，将图形特性显现出来，串联问题条件.实际作辅助线时有一些技巧可利用，可立足几何圆的特征，把握圆心、直径、弦长等几何要素，通過作辅助线来构建特殊模型，下面举例探究三种圆中辅助线的作法.

作法探究一  遇弦作弦心距

对于与弦相关的圆问题，作辅助线时常添加弦心距或者作垂直于弦的半径（或直径），再连接过弦的端点的半径.后续解题时有三种破解思路：一是利用垂径定理进行分析；二是利用圆心角及其所对弧、弦和弦心距之间的关系进行分析；三是利用弦的一半、弦心距和半径构造直角三角形，进而利用勾股定理来分析相关量.

例1  如图1所示，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=，求弦CD及圆O的半径长.

解析  本题目中CD为圆O的一条弦，求弦长及圆O的半径，可把握弦这一特殊线段，作弦心距.即过点O作OM⊥CD于点M，再连接OD，如图2所示，根据垂径定理推理.

已知∠CEA=30°，则∠OEM=∠CEA=30°.

在Rt△OEM中，OE=4，

所以OM==2，

EM==.

又知DE=，

可推得DM=DE-EM=.

由于OM过圆心，OM⊥CD，

则CD=2DM，

所以CD=.

在Rt△DOM中，OM=2，DM=，

由勾股定理可得OD=，

即弦CD的长为，⊙O的半径长为.

评析  上述问题以圆为背景，主要考查垂径定理和直角三角形特性.图形中给出了弦长，作辅助线时采用了“遇弦作弦心距”的策略，并结合圆的半径构建了直角三角形，通过解直角三角形求解线段长.对于与弦、半径、弦心距相关的问题，常作半径、作弦心距，构造直角三角形来辅助分析.

作法探究二  遇切线连圆心和切点

当圆中问题要求证明某一直线为圆的切线时，可以采用“连圆心和切点”的策略，具体解题时可采用如下两种思路：

思路一  有点连圆心，即当直线和圆的公共点已知时，可联想切线的判定定理，只要将该点与圆心相连接，再证明该半径与直线垂直；

思路二  无点作垂线，若条件中未告知与圆之间的交点，可联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，只需证明圆心到垂足的距离等于半径即可.

例2  如图3所示，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合.若∠P＝26°，则∠C的度数为         .

解析  本题目中设定PA与⊙O相切于点A，后续要求进行角度分析，显然可以采用“遇切线连圆心和切点”的策略.

连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，如图3虚线所示.

已知PA与⊙O相切于点A，则∠OAP=90°.

又知∠P=26°，则∠AOP=90°﹣∠P=90°﹣26°=64°，

所以∠D=.

点C在上，且与点A、B不重合，

所以∠C=∠D=32°，即∠C的度数为32°.

评析  上述求解圆中的角度，题目设定直线与圆相切，故求解时采用了“遇切线连圆心和切点”的策略，把握圆心和切点这两个特殊点，构建直角三角形，后续即可利用直角三角形的性质来推导角度.

作法探究三  遇直径作直径所对的圆周角

遇到圆中设定其直径，求线段相关问题时，可添加直径所对的圆周角，从而得到直角或直角三角形，后续利用圆周角定理和直角三角形性质来探究突破.

例3  如图4所示，AB为⊙O的直径，且AB=10，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点C，AE=6，AD⊥CD于点D，F为半圆弧AB的中点，EF交AC于点G.

（1）求CD的长；

（2）求EG的长.

解析  本题目中设定了圆中的直径AB，后续求解线段长，可基于该直径作所对的圆周角，利用圆周角定理和直角三角形性质来求解.

（1）连接EB，OC交于点M，如图5所示.

已知AC平分∠DAB交⊙O于点C，

则∠DAC=∠BAC，

所以弧CE=弧BC，

可推得OC⊥BE，EM=BM.

又AO=BO，则OM=AE=3.

因为AB为⊙O的直径，

所以BE⊥AD.

又AD⊥CD于点D，

所以四边形MCDE是矩形，

所以CD=EM=BM，

在△OBM中，OB=5，OM=3，

可求得BM=，即CD=4.

（2）过G作GR⊥AD于点R，GS⊥BE于点S，如图5所示.

设GR=x，F为半圆弧AB的中点，

可推知∠AEF＝∠BEF，

所以GR=GS.

因为S△AEB=，

所以，

可解得x=2，则可求得EG=.

评析  上述题目以圆为背景构建复合图形，解题时要把握“AB为圆的直径”这一特征，依托圆上的点E作辅助线，构建圆周角，后续利用圆周角定理、勾股定理来推导线段长.圆周角定理是求解圆问题的重要定理，学习时要深刻理解该定理，掌握圆周角作图的技巧.

总之，上述具体探究了圆中辅助线的三种作法，分别从圆中弦、圆切线、圆直径三种情形来探究作辅助线的思路.探究学习时要注意以下两点：一是深刻理解作图的依据，掌握作图建模的技巧；二是注意总结其中的性质定理，活用定理转化条件，推导分析.