向量法在高中数学解题教学中的有效应用

李鹿雷

【摘 要】  向量作为近代数学中的基本概念之一，将数与形融为一体.在向量的运算中，不仅需要考虑数的问题，同时需要将量结合其中，相对于传统的运算方式来说，向量运算具有复合性特点.在高中数学解题中，借助向量法，能够帮助学生构建代数与几何的关系，对问题进行分析，明确问题解题思路，帮助学生快速解题.高中数学解题中可以使用向量法解题的题目有很多，如三角函数、不等式、解析几何等.本文分析向量法在高中数学解题中的应用策略.

【关键词】  高中数学；向量法；解题策略

1 有效应用向量法解决不等式类试题

不等式属于高中数学课程中的重要知识点，也是高考中的必考點之一，相关题目的解题技巧较强，有的题目比较特殊，直接运用不等式知识求解答的话过程较为烦琐，而有效应用向量法则往往能够起到意想不到的效果，快速得到正确答案.对此，高中数学教师在不等式解题教学中应指引学生打破思维定式，运用向量法来解题，让他们掌握高效的解题方法 [1] .

例1   已知a 2+b 2=1，m 2+n 2=1，那么am+bn的取值范围是什么？

解析   这是一道典型的不等式类试题，教师可以指导他们使用向量法进行解题，使其通过构造向量的方式简化解题过程.

具体解题方式如下：根据题意设 u =（a，b），

v =（m，n），

根据a 2+b 2=1，m 2+n 2=1，

能够得到丨 u 丨＝丨 v 丨＝1，

则 u · v ＝am+bn，

结合平面向量数量积的定义可以得到

u · v ＝| u | | v | cos θ＝ cos θ，

因为0≤θ≤ π ，所以－1≤ cos θ≤1，

故am+bn的取值范围是[－1，1].

2 有效应用向量法解决三角函数试题

在处理三角函数时，除运用三角函数自身方面的知识以外，教师还可以提示他们有效应用向量法，使其把握好题目中同向量有所关联的点，利用向量间的夹角运算来解答题目，从而找到更为简洁的解题思路，提高解题效率.

例2   已知 cos α+ cos β－ cos （α+β）＝ 3 2 ，那么锐角α，β的值分别是什么？

解析   在解题时，要求学生对题目结构进行分析，构造向量，利用向量的数量积公式，完成题目解答.通过向量法可以简化解题过程，提高学生解题效率.

具体解题方式如下：

（1－ cos β） cos α+ sin α sin β= 3 2 － cos β，

通过对结构的观察发现可以使用向量数量积公式展开计算，

设向量 a =（1－ cos β， sin β），向量 b =（ cos α， sin α），

故 a · b = 3 2 － cos β，| a || b |= 2－2 cos β ，

由于| a · b |≤| a || b |，

能够得到  3 2 － cos β ≤ 2－2 cos β ，

解之得 cos β＝ 1 2 ，所以说β＝  π  3 ，然后把β的值代入已知等式中就能够求出α的值，即为α＝  π  3 .

3 有效应用向量法解决特殊方程试题

当遇到部分难度较大或者比较特殊的方程类试题时，高中数学教师应当指导学生有效应用向量法，使其在做题过程中减少对题目内容的思考量，快速找到恰当的解题思路，让他们快速解答试题 [2] .

例3   解方程 x ＋ y－1 ＋ z－2 ＝ 1 2 （x＋y＋z）.

解析   当看到方程中含有多个根号时，学生往往不知道该如何下手，此时教师可提示学生利用向量法解题，根据题目中的信息，构建出合适的向量，将方程问题转化成为向量问题，省去一些复杂的运算步骤，从而快速求出准确答案.

具体解题方式如下：设向 m ＝（ x ， y－1 ， z－2 ）， n ＝（1，1，1），

则 m   2＝| m | 2＝x+（y－1）+（z－2）

=（x+y+z）－3，

所以 m · n ＝ x ＋ y－1 ＋ z－2 ，

故原方程能够转化成 m   2+ n   2=2 m · n ，

即为（ m － n ）  2=0，由此说明 m = n ，

解之得x＝1，y＝2，z＝3.

4 有效应用向量法解决解析几何试题

在高中数学课程教学中，解析几何是一类难度较大的知识，尤其是圆锥曲线中会面对一些同圆有关的试题，以及点与圆的位置关系，教师应引导学生采用向量法，使其把数学问题转变为数量间的积，使其简化运算过程，降低解析几何试题的解题难度.

例4   已知椭圆C： x 2 m 2 +y 2 =1，该椭圆的左、右两个焦点分别为F1与F2，直线l：x－my－ m 2 2 =0，且m＞1.

（1）当直线l经过椭圆右焦点F2时，求解直线l的方程；

（2）直线l与椭圆C的交点是A、B，设三角形AF 1F2的重心是G，三角形BF 1F2的重心为H，原点O在以线段GH作为直径的圆内，求解实数m的取值范围.

解析   第（1）问较为简单，这里不作分析，关键是第（2）问，结合对题干信息的阅读与分析可知，由于原点O在GH为直径的圆内，可以得出∠GOH为钝角，则OG  ·OH  ＜0，利用圆的性质、向量以及重心性质，构建相应的方程组，找出解题的关键，将复杂问题转化为简单的问题.

具体解题过程如下：（1）略.

（2）设A与B坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），

根据题意可知x=my+ m 2 2 ， x 2 m 2 +y 2 =1，

据此建立一个方程组，消元后得到

2y 2+my+ m 2 4 －1=0，

根据Δ＝m 2－8  m 2 4 －1 =－m 2+8＞0，

得到m 2＜8，

则y1+y2=－ m 2 ，y1y2= m 2 8 － 1 2 ，

故OA  ·OB  ＝（m 2+1）  m 2 8 － 1 2  ＜0，

解之得1＜m＜2.

5 有效应用向量法解答立体几何问题

在高考数学中，立体几何是必考内容之一，解题思路通常分为两种模式，一种是直接利用立体几何自身的知识来求解，另外一种是采用向量法进行求解，假如找到空间直角坐标系的原点，运用向量法更是具有事半功倍的作用.这就要求高中数学教师应该为学生讲解向量法解答立体几何试题的技巧，指导他们有效应用向量法证明线面垂直、面面垂直于二面角.

例5   已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，它的底面ABCD是一个菱形，其中∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ，请证明CC1与BD是垂直关系.

解析   这是一道典型的立体几何异面直线垂直问题，教师可以指导学生利用向量法进行证明，根据垂直直线的向量和为零，利用向量公式和定理，完成题设的证明.

具体证明方式如下：根据题意可设CD  ＝ a ，CB  ＝ b ，CC1  ＝ c ，由于底面ABCD是一个菱形，

故  a  =  b  ，所以BD  ＝CD  －CB  ＝ a － b ，

由于CC1  ·BD  ＝ c · （ a － b ）＝ c · a － c · b =  c    a   cos θ－  c    b   cos θ=0，

據此可以得知CC1  与BD  是垂直关系，那么CC1与BD同样是垂直关系.

参考文献：

[1] 陈苏平.高中数学解题中向量法的运用[J].数理化解题研究，2022（07）：36-38.

[2]徐波.探讨向量法在高中数学解题中的应用[J].试题与研究（高考版），2020（06）：24.