无字证明在数学教学中的应用*

刘倩雯 汪晓勤 (华东师范大学教师教育学院 200062)

1 引言

无需语言的证明又称无字证明(proof without words,简称PWW),本质上是一种数学语言,形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形,可能包含数学符号、记号、方程,但不附带文字[1]．事实上,无字证明并非新概念,它拥有丰厚的历史,可追溯到古希腊与古代中国时期[2],如 图1是中国古代数学家刘徽(约220—约280)关于直角三角形内切圆半径的无字证明的现代版演绎,图中仅有图形、符号与方程,却隐含着关于直角三角形内切圆半径的证明．

图1 直角三角形内切圆半径的无字证明

虽然无字证明能否被视为有效正式的证明方式一直备受争议,但是有学者提出,无字证明在教学中是强大的工具,可以帮助任何水平的学生构造出证明[3]．以色列学者马克(Marco)认为,无字证明是能够唤起学习者数学行为的学习资源.马克等学者围绕“无字证明是否能够促进中学生的证明建构”及“哪些设计原则能够帮助无字证明促进学生的证明建构”两个问题对144名10年级学优生进行了实证研究．研究发现,大多数学生都能够成功发现无字证明的中心思想并基于此建构证明.同时该研究总结出五项关于无字证明的设计原则[4]．

本文认为,在高中数学教学中融入无字证明是富有意义的．首先,《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课标》)要求着力发展学生数学核心素养[5],而无字证明凭借其形数结合、以形证数、隐含证明中心思想的特点为提升学生直观想象、数学抽象与逻辑推理的核心素养提供了一种途径,且已有研究表明,在中学课堂中实施无字证明活动能够有效培养学生的推理能力[1,3,6-7]．其次,无字证明作为一种证明材料,需要学生在意义建构过程中对其感知到的空白添加信息,因此无字证明本身即为学生留白,而适当的空白可以刺激学生在证明构造中的数学参与[8],调动学生思维的主动性与积极性,让学生基于自己的理解构建认知结构,帮助学生形成自己的认知策略,培养学生的创新能力[9]．此外,无字证明是有线索的留白,它暗含着中心思想的提示,故而在教学中融入无字证明可以在控制证明难度的同时培养学生的发散性思维,明确学生在课堂中主体地位的同时提高课堂的教学效率．

2 无字证明的设计

无字证明的现有素材极其丰富.一方面,目前已有的无字证明数量及种类众多;另一方面,新的无字证明在持续不断地涌现．但是,并非所有的无字证明都适合在教学中直接使用．部分无字证明为了帮助读者快速地理解证明思路,尽可能地显性化所有证明过程,故而给予过多的提示．此类无字证明虽然能够降低读者证明理解的难度,但若直接作为教学素材,便容易导致学生思考的机会较少,补白的空间不足．也有部分无字证明给予的线索过少或过杂,若不加以提示、修改,而直接将其作为课堂教学素材,则对学生的思维能力要求较高,且容易造成课堂教学效率不高的问题．数学教育家张奠宙指出,数学课堂教学的优劣,自然应该以学生是否能够学好“数学”为依归,教育手段必须为教学内容服务[10]．因此,为了更好地将无字证明融入教学,教师有必要对已有的无字证明进行重新改编、二次设计．已有研究在教学实验中提出五项关于无字证明的设计原则[4],下文将以正余弦和角公式、均值不等式、数列求和为例具体阐述如何根据五项原则设计无字证明．图2-图4分别给出了各主题的一种无字证明．

图2 正余弦和角公式的PWW 图3 均值不等式的PWW

图4 一种数列求和的PWW

2.1 中心思想的可发现性

为了增强证明的可行性,无字证明需要提供必要的、能够体现中心思想的信息．事实上,无字证明本身便隐含着证明的基本思想,因此在不修改无字证明时,学生也能够填补中心思想之白[4]．教师若需要对无字证明进行重新设计,则要注意保留学生能够发现中心思想的信息,同时也要避免给予过多相关信息而剥夺学生自主探究、自主发现的机会．

正余弦和角公式无字证明的中心思想为,通过对直角三角形中直角边的两种不同表示方式来建立等式．为了体现中心思想,教师可以对直角三角形填充阴影,并对两直角边绘制箭头与问号,以此帮助学生聚焦于此三角形思考直角边的线段长度该如何表示,如图5所示．由于该直角三角形的斜边长为1,其中一锐角的大小为(α+β),学生容易表示出两条直角边的长度分别为sin(α+β)与cos(α+β)．结合待证命题,学生不难联想到需要找出另一种表示直角边的方式来建立等式．因此,相较于原无字证明(图2),教师可以选择抹去此提示,在图5中不直接展示出直角边的另一种表示方式,给学生留下中心思想之白,留出思考探究的空间．

图5 重新设计的正余弦和角公式PWW 图6 重新设计的均值不等式PWW

图7 重新设计的一种数列求和PWW

2.2 条件已知与未知的可区分性

大多数无字证明并未区分不同类型的条件,如原正余弦和角公式的无字证明(图2).对于不同类型的条件,包括:给定的条件如角α,β与线段长度为1,可以推导出的条件如矩形的宽为 cosαcosβ,以及因构造而产生的条件如过点作垂线段等,无字证明的原设计者都采用相同的方式将它们展现于图2中．然而,中学生接触的大多数几何证明题,其配图直接显示的信息为给定条件,故而原始的无字证明很可能会给学生带来困扰,即让学生误认为所有在图中标出的信息都是给定条件．已有研究表明,在利用不同的作图方式来区分不同类型的条件以后,学生容易产生更严格的证明[4]．因此,教师可以通过不同作图方式来区分无字证明展现的条件．

在正余弦和角公式的无字证明(图5)、均值不等式的无字证明(图6)、数列求和的无字证明(图7)中,教师可以用实线印刷体表示给定条件,虚线表示因构造而产生的条件,手写体表示可以推导出的条件,以此促进学生正确理解条件．

2.3 构造的可视性

若不考虑图形是如何产生的,则无法将结论推广至一般,而当无字证明呈现更多构造信息时,学生更容易产生对图形构造过程的思考[4]．大多数无字证明直接呈现出图象的最终形式,这种方式虽然简洁,但是却容易让读者忽略对图形存在性的思考,即这样的图形究竟如何被构造出来．

在均值不等式无字证明中,构造方式并不唯一,图6展示了其中一种思路．首先,通过实线表示给定条件,即已知圆O与一条弦．再通过“虚线-点”线条表示构造过程,即过圆心作弦的垂线交弦于一点．而后,通过虚线表示因构造而产生的条件,即过弦上交点再作一条弦,弦两段分别为x与y,再分别连接端点．

2.4 图形性质的内隐性

已有的无字证明多会呈现并标记出图形性质,包括已知性质或需要经历推导而得的性质．由图2可知,原始无字证明直接呈现出一些学生能够发现的线段长度与角度,如sinβ,cosβ, cosαcosβ等,这将不利于培养学生“自发”的智慧[11]．且已有研究证实,当无字证明减少图形性质的呈现时,学生在证明过程中会更容易产生疑问,从而促进自身构造子证明去填补空白、解决疑问[4]．因此,教师在重新设计无字证明时,可以考虑隐去学生能够从图中已给条件推导得出的信息,如图5的线段长度与角度,同时,教师也可以考虑隐去学生能够根据构造过程得到的结论,如图6中的半弦长度．特别地,在对正余弦和角公式的无字证明进行修改时,因为图5中已增加了确定直角顶点的过程,学生能够从图中的构造过程得到直角的结论,所以也同时隐去直角标记．总而言之,通过上述隐藏图形的性质的设计,充分为学生留下图形性质之白,促进学生发现并填补图形性质之白,培养学生推理的核心素养．

2.5 包含人为痕迹

已有研究表明,抽象的、缺少人为痕迹的呈现方式会降低学生学习数学的兴趣,而包含人为数学痕迹的图更容易激发学生的数学参与[12]．因此,教师在图5—图7中增加了人的数学活动形式.具体而言,在对三个无字证明进行修改时,可以通过添加作圆的痕迹、手写的角度、手写的箭头与问号等方式使无字证明显得更为生动、自然、有趣,进而拉近无字证明与学生的距离．

3 基于无字证明的教学建议

当教师在课前完成对无字证明的二次设计后,如何在课堂中基于修改后的无字证明具体展开教学是值得我们思考的问题,本文结合已有文献提出如下教学建议．

3.1 分组研讨,组内补白

《课标》提出普通高中的培养目标包括使学生具有自主发展能力与沟通合作能力[5],传统的讲授式教学难以满足上述要求.而当课堂采取分组研讨的形式,围绕无字证明让学生以小组为单位主动思考、主动发现、主动讨论、主动论证,便能够在此过程中较自然地发展学生的自主探究与合作交流的意识与习惯．同时,无字证明对学生的个人要求较高,分组研讨能够帮助降低无字证明活动的难度,提高课堂的教学效率．

3.2 小组展示,分享论证

当学生完成组内补白后,教师可以让小组上台展示,分享论证结果．王建磐提出,在中小学生的数学学习中,有两样东西非常重要:一个是学会理性思维;另一个便是学会精确表达[13]．此环节能够锻炼学生的语言表达能力,同时能够培养学生的数学自信,更能够引导学生养成倾听他人的习惯,由此发挥数学课堂的育人价值．当小组上台展示后,教师还可以引导学生开展组内自评与组间互评,让学生在相互交流、相互质疑、相互鼓励的过程中树立理性精神．更为重要的是让学生真正成为课堂的主人,激发学生数学学习的乐趣,让学生真正爱上数学学习．

3.3 教师点拨,二次补白

已有研究表明,学生能够自主填补无字证明的中心思想之白、部分图形性质之白与部分构造之白,但学生难以发现并填补一般化之白,即解释基于这个特定图形的证明是否可以得到一般性的结论证明[4]．对于学生在证明中忽略的空白,教师可以发挥引导作用,通过设问追问的形式让学生意识到忽略的空白,激发学生对证明的再思考,再补白,最终形成严密完整的证明．通过“问题引领”,不仅能够实现教师主导、学生主体的“双主体”[14],还可以帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理的思考,并由“理性思维”逐步走向“理性精神”[15]．以正余弦和角公式为例,教师可以通过问题“在已给的无字证明中,正余弦和角公式是否对任意范围的角度都成立?”引导学生发现一般化之白,再通过设问“由无字证明得到的正余弦和角公式能否推广至任意角度?”,启发学生思考并与学生共同填补一般化之白．此外,当学生在论证过程中产生科学性错误或遇到困难时,教师应及时指出并纠正,进行适度的干预,避免产生“留白”变“白留”的问题．同时教师也要注意及时评价,恰当理答,培养学生提出问题的积极性,帮助学生真正做到“敢问、爱问、会问”[14]．

4 结语

在如今人工智能技术高速发展的背景下,学生不仅要掌握知识,更要学会如何学习、如何思考、如何创新.教师在课堂上充分留白,可以为学生提供思考创造的时间与空间,因此开展留白式教学是极其必要的．本文介绍的无字证明是一种特殊的留白形式,是留有线索的白,是聚焦的留白．而基于无字证明的留白教学本质上即是学生根据无字证明提供的线索自主探究,教师引导学生不断补白的过程．当然,实施基于无字证明的留白教学需要一定的条件．

首先,教师需要学习无字证明,具体包括了解无字证明的含义,寻找并积累适合中学阶段教学的无字证明．其次,教师需要将无字证明转化为教学材料,例如,可以利用本文所述的五项原则对无字证明进行修改再设计,使之成为适合课堂教学的有效工具．同时,教师需要不断提升专业技能,在留白课堂中,学生开放性的思考结果需要教师及时给予正确的反馈与评价,因此留白式教学对教师的专业能力要求较高．此外,教师需要塑造留白教学的信念,“满堂灌、一言堂”“刷题式”教学可能在短期内能使学生成绩提升,但长远来看,其不利于学生的全面性发展．学生的潜能是无限的,学生的智慧也是无穷的,教师要敢于在课堂上留白,善于在课堂上留白,为学生创造补白的机会,让学生在补白过程中发散思维,创新创造,树立自信,激发兴趣．