“情境—问题—思维”视角下的数学教学——以“科学记数法”为例

胡连成 (江苏省丰县梁寨镇梁寨初级中学 221700)

1 基本情况

1.1 授课对象

施教对象为苏北农村初中七年级学生,学生数学基础一般,具备一定的探究思考、交流合作的能力．

1.2 教材分析

本节课是苏科版教科书七年级上册“2.7有理数的乘方”第2课时内容,这是学生已经学习过有理数加、减、乘、除、乘方的内容之后,安排的一节与现实生活中大数处理相关的教学内容．一方面让学生感受现实生活中客观存在着各种大数,另一方面揭示人们对大数读写时存在诸多困难,启发学生思考简便的表示方法．由于教科书中关于本课内容仅限于用科学记数法表示大于10的数,没有体现用科学记数法表示绝对值大于10的负数内容;而在七年级下册“8.3 同底数幂的除法”第3课时(内容为用科学记数法表示小于1的数)“练一练”环节出现了用科学记数法表示绝对值小于1的负数的习题．为体现科学记数法表示数的便利性、统一性和知识结构、方法体系的完整性,本课对教学内容进行了重组设计,共分为三个教学环节:(1)用科学记数法表示大于10的数;(2)用科学记数法表示绝对值大于10的负数;(3)思考小于1的数如何简便表示．其目的在于通过系列问题思考,让学生能从中体会相关的数学思想和思考问题的一般策略,发展理性思维．

教学目标 (1)体会科学记数法的简便性和必要性,能用科学记数法表示绝对值大于10的数,感受数学与生活的密切联系;(2)能将一个科学记数法表示的数还原,在互逆的数字转化中建立基于自我理解的知识结构和方法体系,积累数学活动经验,体会转化与化归的数学思想．

教学重点 会用科学记数法表示绝对值较大的数．

教学难点 归纳基于自我理解的科学记数法中幂的指数与原数的内部关联．

教学策略 一方面通过现实世界中的数据引入,让学生体会到大数存在的普遍性和用简便方法表示的必要性;另一方面在从特殊到一般的问题思考中,让学生经历观察猜想、探索验证、合作交流的过程,从中发展用数学的思维思考问题的意识．

2 教学过程

2.1 创设情境,引发思考

问题1(比一比)请比较下列两组数的大小:

(1) 1.01,1,0.99;(2) 1.01365,1365,0.99365．

师:请说出第二组各数表示的含义,你认为它们的结果差别大吗?

生1:这三个数分别表示365个1.01相乘,365个1相乘,365个0.99相乘．因为1.01,1和0.99相差不大,我想这三个数的值也应该相差不大．

师:实际上,1.01365≈37.78,1365=1,0.99365≈0.026,其差距是巨大的,对于问题我们既要大胆猜想,更须小心验证．数据比较告诉我们一个道理:积跬步以至千里,积懈怠以至深渊．每天进步一点点,一年后你进步惊人;每天原地踏步走,一年后你还在原地;每天退步一点点,一年后你退步很多．希望我们每节课都能有所收获,每天都能前进一步,坚持下去,你会发现一个崭新的自我．

问题2(读一读)世界上最大的海洋是太平洋,面积约是181 344 000 km2,世界上国土面积最大的国家是俄罗斯,面积约是17 098 200 km2．

让学生读出这段文字,出现了对数字“阅读困难”甚至“读不准确”等情况．

师:生活中我们经常遇到一些比较大的数,像这样的数据,书写和阅读都有一定困难,有没有比较简便的方法呢?

教学分析考虑学生基础一般,所以本节课设置了两个情境．首先从猜测三个数的大小差异入手,一方面复习乘方的概念,另一方面通过对猜测结果的验证,达成对学生进行方法指导和思想教育的目的,激励学生学习的热情和毅力．随后,通过学生在读出较大数据时出现的问题,直观感知较大数存在着书写和阅读的困难,从而引发思考“是否有简便的方法可以表示较大的数”,发展学生的问题意识,引领后续探究．

2.2 关联旧知,特殊化探索

问题3(想一想)我们遇到新问题时,常常退一步,从特殊情况开始探索．请思考下列数是否可以写出较简便的形式:1 000,10 000,100 000 000,10 000 000 000．

师:同一个数有了两种不同的表示方法,你能发现幂指数的确定规律吗?

生3:幂指数等于原数字的整数位数减1,也可表述为幂指数与原数字中0的个数相同．

师:你能说出其中的道理吗?

生4:因为这些数都可以转化为10与10相乘的形式,所以可以写成底数为10的幂的形式,幂的指数就是10的个数,故可以解释上面的两种结论．

生5:是否所有的较大的数都可以写成类似的简便表示形式?

教学分析通过特殊化思考过程,在思考此类数字转化为10n的过程中,引导学生主动分析其中蕴含的数字规律,感受用幂的形式表示数的便利性,并通过自己的语言表达和说理的思维外显过程,发展学生的归纳意识和有序表达的能力,为下一步用科学记数法表示一般大数积累活动经验和知识储备．

2.3 形成新知,一般化归纳

问题4(试一试)请把下列各数也写成底数为10的幂的形式:30 000,32 000,302 000 000．

在我国的部分地区，开展的民俗旅游，都出现了同质化现象，而造成这一现象的主要原因，则是开发者过度重视经济利益，而纷纷效仿别的地区的开发模式，并且将本地区原有的民俗文化活动摒弃，造成了本地区民俗文化的失真，而原本引进过来的民俗文化，又因与当地历史背景不符，从而产生了徒有其形的旅游项目，让慕名而来的旅者大失所望，影响了业界的口碑。

生6:30 000=3×10 000=3×104,32 000=32×1 000=32×103,302 000 000=302× 1000 000=302×106．

生7:我认为应该这样写,32 000=3.2× 10 000=3.2×104,302 000 000=3.02×100 000 000=3.02×108．这样把较大的数统一转化为整数位数只有一位的形式较好,否则如1 234 567 890写成123 456 789×101的形式,还是起不到简便读写的目的．

师:同学们分析得很好,为了方便表示较大的数,一般地,我们可以把大于10的数写成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,这种记数方法称为科学记数法．请同学们思考,幂的指数n值的确定有什么规律?

生8:“幂指数与原数字中0的个数相同”的规律在这里就不符合,较大的数都可以写出a×10…的形式,后面有几个0就代表有几个10相乘,幂的指数就等于几,但原数中0的个数与指数间不存在这种数量关联,而“幂的指数等于原数的整数位数减1”的结论仍然成立．

问题5(练一练)请把下列各数写成科学记数法的形式．(1)中国最长的河流是长江,长度约是6 397 km;世界最长的河流是尼罗河,长度约是6 670 km．(2)中国最大的湖是青海湖,面积约为4 625 km2;世界最大的湖是里海,面积约为386 400 km2．

教学分析借助对问题4的思考,实现从特殊到一般的思维发展过程,通过把数字写“a×10…”的形式,把新问题转化为已解决的问题．再通过进一步追问,让学生思考科学记数法中幂指数的确定规律,并解释其合理性,完成知识的意义建构．“问题5”是学以致用环节,在巩固知识的同时,进一步感知科学记数法的优点,体会数学源于生活而服务于生活、从问题中来到问题中去的旨归．

2.4 逆向思考,关联知识

问题6(逆向思考)下列用科学记数法表示的数,原来各是怎样的数?(1) 2×102;(2) 9.5×105;(3) 2.01×106;(4) 5.201 3×103．

生9:2×102=2×100=200,…．

师:我们前面发现的幂指数与原数位数的关系是否仍然成立?你是否还有新的发现?

生10:前面我们发现的结论仍然成立,我还发现科学记数法表示的数和原数在互相转化时,小数点移动的位数和指数的值是相同的．

师:你能解释其中的原因吗?

生11:因为它们在转化过程中都需要转化为“a×10…”的形式,较大数写成科学记数法时小数点向左移动,反之向右移动,因为小数点移动的位数等于“10…”中“0”的个数,所以小数点移动的位数和幂指数的值是相同的．

师:这两种方法源自对同一问题的不同观察视角,结论都是正确的．我们平时学习就要善于从不同的角度发现和总结规律,并思考它们背后的数学道理．

教学分析通过从科学记数法表示的数还原为原数的过程,实现对问题的逆向思考,在正逆双向运用中进一步总结幂指数与原数的内部关联,并鼓励学生在理解的基础上用自己的语言表达出来,进一步发展学生的归纳意识和有序的理性表达．

2.5 方法运用,拓展提升

问题7(拓展运用)(1)你能用科学记数法表示下列各数吗?世界上最深的海沟是马里亚纳海沟,海拔约为-11 034 m;中国海拔最低的地方是吐鲁番盆地,海拔约为-154.3 m．(2)-5.2×105=．

生12:可以类比前面的方法,-11 034= -1.103 4×10 000=-1.103 4×104,….

师:前面我们总结的幂指数确定的规律是否还成立?科学记数法应如何表述更合理?

生13:相关规律仍然成立,科学记数法应 这样表述,一般地,可以把绝对值大于10的数写成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n是正整数．

教学分析考虑到学生思维方法的类比运用和知识体系的完整建构,教学中进行了知识重组拓展,引领学生类比前面的方法策略探索用科学记数法表示绝对值较大的负数的问题．并结合拓展内容思考如何合理表述科学记数法的概念,完成知识体系的意义建构．

2.6 巩固练习,解决问题

略.

2.7 反思建构,迁移运用

师:请回顾本节课你学习了哪些知识?我们是如何探索这些新知的?

生略．

师:你还遇到过哪些读写不便的数?你有什么想法吗?

生14:一些绝对值较小的数也同样存在难以读写的问题,如“新冠病毒的直径平均约为100纳米,即0.000 000 1 m”,我想,是否也可以用科学记数法的方式进行简便表示?

师:在现实生活中我们也会遇到绝对值较小的数,它们是否也能用科学记数法的形式进行简便表示?请同学们类比今天思考问题的策略方法课后探索．

教学分析通过对探索过程的回顾与反思,使学生在巩固知识的同时,体会解决问题的一般策略(图1),并结合生活中遇到的绝对值较小的数,思考如何简便表示.虽然学生解决此问题尚有困难,但这种问题意识养成和对解决问题的一般策略的思考,是教学中应关注的重点．

图1

3 教学反思

3.1 基于学情,关注思维的教学定位

有效数学课堂教学需要准确的教学定位,明确一节课教什么、为什么教、怎么教、教到什么程度等问题．这就需要基于学情分析,关注思维发展的教学定位.首先,要了解学生“已学习了什么”“平时是如何学习的”等知识基础与学习心理,并从整体系统观的角度解读教材内容,明确相关知识的学术形态和教育形态,做到“知己知彼”．其次,数学教学不仅要关注知识方法掌握,更要思考在问题解决中对数学思想的领悟,重视通过知识的学习体会数学地思考问题的策略．评价一节课的标准之一就是能否引发学生的思维共鸣,注重在经历“数学地思考问题”的过程中发展质疑问难的批判性思维,养成讲道理、有条理的思维品质,从而发展理性思维．最后,要思考怎么教、教到什么程度的问题,通过何种方式可以实现知识的学术形态向教育形态的顺利转化,并从中发展学生的理性思维．基于“情境—问题—思维”视角的数学教学提供了一种实践途径,正如本节课,教学从真实情境入手,在激发学生学习兴趣的同时发展问题意识,通过问题链教学引领学生深度探索．借助特殊化思考和一般化归纳,在方法的运用、迁移、拓展中,从对问题的思考升华到数学思想的领悟、从孤立到联系、从简单到深刻,达成问题引领下的思维发展,实现基于学情、关注思维的“低起点、高立意”的数学教学．

3.2 面向问题生成的情境设计

《义务教育数学课程标准(2022年版)》提出了能引发学生思考的三条教学建议,其一就是要“强化情境设计与问题提出”,即注重创设真实情境,在情境中引导学生主动提出能引发思考的数学问题,通过数学地观察、思考和表达的过程,体会数学是认识、理解、阐述现实世界的工具．情境设计合适与否,取决于情境所形成的问题能否激发学生的学习内部动机、指向数学本质、引领思维发展．要实现这一目的,情境设计需要遵循如下要求:(1)情境设计的前提是了解学生学情,明确学习最近发展区,进行准确的教学定位;(2)情境设计的目的是通过提供中等难度的真实情境,学生用已有的知识方法无法顺利解读情境中的信息时,产生思维困境和认知冲突,从而生成数学问题,在激发学习兴趣的同时实现思维的定向;(3)情境的设计还要体现思想性和趣味性的融合,在注重情境思维内涵的同时兼顾“真、趣、美、简”[1]的特点,力求实现问题与思维相融、形式与内涵统一．

3.3 指向思维发展的问题链教学

指向思维发展的问题链教学首先要让学生的思维聚焦到核心问题上.核心问题是一节课的“课眼”,它指向情境问题的数学本质,整合课堂教学的重难点和关键点,并由此生成整节课(单元)的教学探索活动,具有统领性、生成性、建构性的特点．教学中通过情境的谋势,引发学生认知冲突,形成需要解决的问题,教师顺势而为,从中抽取出核心数学问题,引领后续探究．如本课中通过展现生活中的较大数据,学生发现存在读写困难时,自然就形成了“能否寻找一种较为简便的表示较大数的方法”的核心问题．其次,指向思维发展的问题链教学要在基于核心问题的前提下,通过递进、变式、类比、引申、逆变等方式,形成具有逻辑关联和开放度、生长性的问题链,实现问题的深度探究．问题链是以核心问题为定位,以数学思维为指导,指向数学知识的内部关联,体现一定数学思想方法的序列问题串．问题链可分为以下四种类型:数学一般化思维指导下的问题归纳链、数学类比思维指导下的问题类比链、数学演绎思维指导下的问题演绎链和数学逆向思维引领下的问题逆向链．具体教学中,常常是多种类型的问题链相互融合,共同引领问题探索．如本节课的问题链教学,既有从特殊到一般的问题归纳链,也有从“较大正数”到“绝对值较大的负数”再到“较小数”的方法类比链．最后,指向思维发展的问题链教学要注重学生的积极思考和主动建构,在经历“思维定向、思维内化和思维外显”[2]的过程中,重视对探究过程的审视与回顾,在反思中形成思维的自觉(图2),实现由具体数学知识方法的学习转向一般性思维策略的学习,经历“数学地思维”,达成“通过数学学会思维”的目的[3]．

图2