中加高校常微分方程课程比较与探讨

任佼佼 吴聪

摘  要  通过比较分析滑铁卢大学和成都大学常微分方程课程的课程设置、课程内容、教学过程及考核方式，为我国该课程的教学改革提供一定的启发和思路，应继续保持国内该课程基础模块做得比较好的优势，加强对应用模块特别是拓展模块的改进，并针对不同专业开设具有专业特色的常微分方程课程，理论联系实际，为培养创新型实践人才而努力。

关键词  常微分方程；课程设置；考核方式

中图分类号：G642.3    文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2023）11-0149-04

0  引言

常微分方程[1]是高校数学专业中一门承上启下的课程，前有数学分析、高等代数和解析几何，后有泛函分析、拓扑学和近世代数。常微分方程理论体系严谨、抽象程度高，并且实际应用广泛、实践性强，是数学理论联系实际的一个重要触角。它揭示了现实世界各种量与其变化率之间的关系，不仅解释了各种自然现象而且阐明了越来越多的社会现象的内在规律。

随着信息化时代的到来，科技快速发展，学生和教师的生活方式、学习方式也发生了翻天覆地的变化，这就要求高校的教育理念、人才培养机制与目标、课程教学方式等要紧跟时代的步伐。随着常微分方程课时的不断压缩，目前，该课程的课时只有68课时或48课时，甚至是32课时。那么，如何解决该课程内容较多而课时少的矛盾呢？常微分方程是一门实践性很强的课程，然而，教师在授课时往往只是理论知识的叠加，只针对各类微分方程的解法进行讲解，如何解決重理论而轻实际的矛盾呢？根据笔者在加拿大滑铁卢大学联合培养时对常微分方程课程的思考与分析，对滑铁卢大学和成都大学的该课程进行了比较、分析与思考[2]。

1  比较与分析

1.1  课程设置

滑铁卢大学位于加拿大安大略省滑铁卢市，是一所公立研究型大学，是加拿大U15研究型大学联盟成员。它拥有加拿大最大的工程学院及世界最大的学习与实习合作教育（CO-OP），是北美地区最优秀的大学之一，其数学、计算机科学及工程学科教学及研究水平居世界前列。滑铁卢大学一年分为三个学期：秋季（F：Fall term）、冬季（W：Winter term）和春季（S：Spring term）。

本科学生一般可以选择其中两个学期上课，另外一个学期和企业合作实习，将理论和实践密切联系起来。滑铁卢大学的数学学院由六个子学院组成：应用数学（Applied Mathematics）、组合与优化（Combinatorics and Optimization）、计算机科学（David R. Cheriton School of Computer Science）、纯数学（Pure Mathematics）、统计与精算科学（Statistics and Actuarial Science）以及数学商业与会计项目（Math， Business and Accounting Programs）。常微分方程是由数学系开设的课程，具体有以下7门课程：

1）Differential Equations for Engineers

（MATH218）（开课学期：F、S。课时：39课时）；

2）Differential Equations for Physics and

Chemistry（MATH228）（开课学期：线下F、W；线上W、S。课时：39课时）；

3）Introduction to Differential Equations

（AMTH250）（开课学期：F、W、S。课时：39课时）；

4）Introduction to Differential Equations

（Advanced Level）（AMTH251）（开课学期：F。课时：39课时）；

5）Differential Equations for Business and Economics（AMATH350）（开课学期：F、W。课时：39课时）；

6）Ordinary Differential Equations 2（AMA-TH351）（开课学期：F、S。课时：39课时）；

7）Introduction to Dynamical Systems

（AMATH451）（开课学期：W。课时：39课时）。

从课程设置上，可以看出滑铁卢大学是由简到难进行课程设置，并且针对特定专业Engineers， Physics and Chemistry， Business and Economics都有特定课程。同时在对课程进行分解的前提下，单课程也可以达到39课时。成都大学是四川省成都市的一所综合性大学，是成都市重点建设大学。根据基本科学指标数据库2022年1月发布的统计数据显示：成都大学工程学科进入ESI全球前1%，标志着成都大学工程学学科迈入国际一流学科行列，充分展示了成都大学工程学学科的学科实力和国际影响力。成都大学没有数学学院，其数学系隶属于计算机学院，目前常微分方程只针对信息与计算科学专业开设，学时48课时，教材使用的是高等教育出版社出版，王高雄等编著的《常微分方程》[1]。经济、商业、工程、物理、化学专业均未开设该课程。常微分方程不是数学专业学生的专属，它是一门理论联系实际的课程，能描述量与其变化率之间的关系，能够描述越来越多的自然现象乃至社会现象，比如：利用常微分方程以及放射性物质的衰变特征来辨别名画真伪；利用常微分方程及放射现象测定考古发现物的年龄；利用常微分方程掌握深水炸弹的水下运动情况；利用常微分方程研究社会经济、人口增减规律以及刑事侦查案件中受害者的死亡时间等等。因此，基于常微分方程的理论及应用价值，成都大学应当根据学科性质及学科发展需求，针对各专业增设此课程。

1.2  課程内容

成都大学的常微分方程课程采用的教材[1]所包含的内容有：常微分方程的模型应用介绍、基本概念和发展历史；一阶微分方程的初等解法及解的存在定理；高阶微分方程及线性微分方程组的解法；非线性微分方程稳定性、奇点、极限环以及混沌；一阶线性偏微分方程，共七章内容，往往由于课时等原因，非线性微分方程及一阶线性偏微分方程的内容一般列为自学内容。

滑铁卢大学的常微分课程一般无固定教材，授课教师会根据自己的授课笔记进行讲解，各课程的大致内容如下。

1）MATH218： First order equations， second order linear equations with constant coefficients， series solutions， the Laplace transform method， systems of linear differential equations. Applications in engineering are emphasized.

2）MATH228： First-order equations， second-order linear equations with constant coefficients， series solutions and special functions， the Laplace transform method. Applications in physics and chemistry are emphasized.

3）AMATH250： Physical systems which lead to differential equations （examples include mechanical vibrations， population dynamics， and mixing processes）. Dimensional analysis and dimensionless variables. Solving linear differential equations： first- and second-order scalar equations and first-order vector equations. Laplace transform methods of solving differential equations.

4）AMATH251： AMATH 251 is an advanced-level version of AMATH 250. This course offers a more theoretical treatment of differential equations and solution methods. In addition， emphasis will be placed on computational analysis of differential equations and on applications in science and engineering.

5）AMATH350： First order ordinary differential equations. Applications to continuous compounding and the dynamics of supply and demand. Higher order linear ordinary differential equations. Systems of linear ordinary differential equations. Introduction to linear partial differential equations. The Fourier Transform and the diffusion equation. Discussion of the Black-Scholes partial differential equations， and solutions thereof.

6）AMATH351： Second order linear differential equations with non-constant coefficients， Sturm comparison， oscillation and separation theorems， series solutions and special functions. Linear vector differential equations in Rn， an introduction to dynamical systems. Laplace transforms applied to linear vector differential equations， transfer functions， the convolution theorem. Perturbation methods for differential equations. Numerical methods for differential equations. Applications are discussed throughout.

7）AMATH451： A unified view of linear and nonlinear systems of ordinary differential equations in Rn. Flow operators and their classifications0： contractions， expansions， hyperbolic flows. Stable and unstable manifolds. Phase-space analysis. Nonlinear systems， stability of equilibria and Lyapunov functions. The special case of flows in the plane， Poincare-Bendixson theorem and limit cycles. Applications to physical problems will be a motivating influence.

滑铁卢大学的常微分方程课程不仅开设了通用课程，而且开设了具有专业特色的课程，强调了该课程在其专业中的应用，学生可以根据自己的专业进行课程选择。与国内不同的是：滑铁卢大学除了讲解各类微分方程（组）的解法之外，对拉普拉斯变换、偏微分方程、非线性系统平衡点的稳定性、流形以及最新学科前沿知识等也进行了详细的讲解，学生能够全面地了解微分方程、了解微分方程在现代科学技术中的应用。

1.3  教学过程

成都大学的课程一般按照自然班级开课，选课学生人数较多，通常教师采用讲授式和启发式[3]教学为主，以探究式、互动式和讨论式教学为辅。教学手段一般采用板书与PPT相结合的方式，也可能会出现授课教师过于依赖PPT的现象。国内的常微分方程的教学一般只涉及基础模块，应用模块和拓展模块很少或几乎没有涉及，计算机和实际应用相结合的内容以及与本课程相关的最新前沿知识很少涉及。

滑铁卢大学对各个课程都有详细的规划，常微分方程类课程都是0.5个学分，其课程的具体规划：MATH218—LEC，TUT；MATH228—LEC，TUT；AMATH250—LEC，TST，TUT；AMATH 251—LEC，TUT；AMATH 350：LEC，TST；AMATH 351—LEC，TUT；AMATH451—LEC。其中，LEC（Lecture），课堂教学；TST（Test slot），期中考试；TUT（Tutorial），课堂讨论。同时，教师在讲解基础模块时，均不采用PPT辅助教学，全程板书讲解，在讲解应用模块和拓展模块时，采用Matlab、Mathematic和Maple等软件展示微分方程近似解曲线以及非线性微分方程平衡点的稳定性问题，并使用多媒体展示最新前沿知识。

1.4  考核方式

成都大学常微分方程的考核方式为闭卷笔试，最终的考核成绩由平时成绩（30%），期中成绩（10%）和期末成绩（60%）组成。平时成绩根据出勤、课堂表现、作业等评定，期中考试和期末考试可采用开卷和闭卷两种方式。滑铁卢大学的考核成绩同样也是由平时成绩，期中成绩和期末成绩组成，但所占比例不同，期末成绩占比50%～60%，平时成绩和期中成绩总占比40%～50%，具体占比多少由授课老师决定。平时成绩由作业、随堂测试、课堂表现以及期末的演讲组成，期中考试和期末考试可以是课堂上规定的短时间（2～3 h）内完成，也可以是课下规定的相对长时间（24～48 h）内完成，可以采取开卷或者闭卷考试，课下考试还可以利用网络资源，充分考查学生的各种综合能力。考试的试卷与国内试卷最大的不同是滑铁卢大学的试卷至少有一题与最新前沿知识相关，将理论和实际紧紧联系起来。

2  思考与启发

2.1  优化课程教育观念

常微分方程的教學目标：要求学生了解常微分方程建模的方法、过程和运算技能，掌握常微分方程的基本概念和理论。

通过常微分方程的教学，培养学生分析问题和解决问题的能力，从而实现该课程培养应用型、创新型人才的目标。

有了明确的教学目标，教师就拥有了前行的指示灯。高等教育不同于初等教育，高等教育不仅要传授理论知识，也要做好实验模拟以及及时了解最新学科前沿知识，切实做好理论联系实际，深入了解常微分方程在各学科中的应用，充分激发学生的学习兴趣。

为充分落实常微分方程在各学科中的应用，可以根据工程、经济、物理、化学等学科的人才培养需要，开设针对各学科特定的常微分方程课程。

2.2  优化整合教学内容

对比滑铁卢大学常微分方程的课程安排，国内在基础模块方面做得比较好，但是在应用模块和拓展模块方面相对欠缺。应当补充Matlab、Mathema-tic、Maple三大数学软件对理论知识的验证[4]，比如求解微分方程、微分方程平衡点稳定性的验证等。同时，将常微分方程知识与最新前沿知识联系起来，让学生切身感受到常微分方程和最新科学进展密切相关。不仅课堂教学需要引入数学软件进行实验验证，而且课后应当留有适当的仿真实验进行训练，针对与最新科学研究进展的联系，教师根据其中某一点或者某两点让学生进行讨论、查阅资料、撰写报告，既可以锻炼学生的文献资料的查阅收集能力，又可以使其切实地体会常微分方程与实际应用的紧密联系。

2.3  优化课程考核方式

成都大学的该课程总成绩由平时成绩、期中考试以及期末考试组成，在整个教学过程中，备课、上课、布置作业、批改作业、答疑等一系列工作均由授课教师完成。作业的布置往往是针对课堂上讲解的理论知识点的训练和巩固，学生的练习题目一般情况下是一致的，因此，抄袭现象较为严重。我们可以借鉴滑铁卢大学中比较好的做法，比如：课堂小测验、期末演讲以及小论文，同时期末考试的形式也可以不再局限于闭卷课堂测验，可以采用开卷甚至课下考试的方式，充分利用网络资源，考查学生基础知识的掌握以及运用知识的情况。具体来说，考核可以扩展为平时成绩（出勤、作业、课堂表现）、期中成绩、期末考试、期末演讲、小论文五部分，检验学生掌握知识以及运用知识的能力。

3  结束语

本文对滑铁卢大学和成都大学的常微分方程课程的课程设置、课程内容、教学过程以及考核方式进行了比较和分析，国内的常微分方程课程教学应积极吸取国外教学的优点，扬长避短。既要注重基础知识的讲解与训练，又要关注常微分方程的实验环节，针对不同专业需与具体的专业实际紧密联系起来，另外，要注重常微分方程在最新学科前沿知识中的应用，让学生真正体会到学有所用，培养学生的自主学习能力和实践能力，进而为国家培养更多的创新型应用人才[5]。

4  参考文献

[1] 王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 周霞.中加高校“常微分方程”课程教学的比较分析[J].阜阳师范学院学报（自然科学版），2016，33（4）：118-123.

[3] 崔仁浩，刘萍．“常微分方程”课程启发式教学初探[J].继续教育研究，2016（3）：119-121.

[4] 王振国.本科院校《常微分方程》课程的教学改革与实践[J].教育理论与实践，2015，21（35）：56-57.

[5] 周霞，刘期怀，王先超.新工科背景下以OBE为导向的常微分方程课程教学改革[J].阜阳师范学院学报（自然科学版），2020，37（4）：108-111.