基于“三新”背景，掌握两种方法

宋秀云

根据新课程标准的要求，高中数学新教材对应的数学课程将《立体几何》内容分成两部分：必修第二册第八章《立体几何初步》和选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》．第一部分内容，要求学生在掌握立体几何的基本概念和基本知识的基础上，重点培养学生逻辑推理能力、几何直观能力和空间想象能力等；第二部分内容则引入空间向量的概念，提供了解决几何问题的新思路和新方法，拓展了学生数学视野，也有助于学生更深入的理解几何知识．

1．实例分析

基于“三新”（新教材、新课程、新高考）背景，结合几何学的数学史发展过程，以及立体几何的教学要求，在解决立体几何问题时主要借助两种常规方法来解决问题：综合法和向量法．下面结合最新模拟卷中的数学试题加以分析与应用，进一步对比综合法和向量法这两种方法在解决空间立体几何问题中的联系与差异．

例1 （2023届八省八校高三第一次学业质量评价（T8联考）数学试题20）如图1，菱形ABCD中，∠ABC=120°，动点E，F分别在边AD，AB上（不含端

点），且EF=λDB（0<λ<1），沿EF将△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如图2所示．

（1）当λ为何值时，BF⊥PD；

（2）若直线PC与平面BCDEF所成角的正切值为1/3，求平面PEF和平面PBD夹角的大小．

此题以图形折叠问题来创设问题情境，第（1）小题以参数λ的求值来设置，探究线线垂直关系问题．这里既含有参数的数学运算，也含有空间元素位置关系的逻辑推理，两者合理交汇与融合，借助平面图形的折叠，形成叠加效应，从平面几何到立体几何，又从立体几何到平面几何，合理升降维度，巧妙数学思维；

第（2）小题以线面角的确定来设置，求解面面角的大小问题．这里以空间角中两个最典型的线面角与面面角为条件与结论，合理创设条件来求解对应的结论，形成不同空间元素之间的关联，构建一个更加完善的知识网络体系．

在实际处理以上两个问题时，都可以借助综合法来逻辑推理，也可以借助向量法来数学运算，都可以从不同视角与层面加以分析与解决，达到解决问题的目的，真正有效考查考生的知识与能力．

2．试题解析

4．方法总结

在立体几何中，判断或处理空间元素的位置关系以及求解空间角或空间距离等问题时，综合法和向量法是两种最常用的分析方法．对比以上两种解决方法以及对应的解题思路，各有千秋，各有特点．

4．1 综合法

综合法解决问题的依据是相关概念和定理，正确的认识概念和定理的本质是解决问题的基础．在具体几何图形中，位置关系和度量关系的变化，都需要学生经历不同层次的探索与认识，经历观察、想象、操作、推理等过程，对学生理解图形本质的特征是有实质性帮助．在使用数学语言表达方面，要精准，简明，有层次，有条理的表达出来；熟练的掌握自然语言、图象语言和符号语言的转化，培养学生严谨的逻辑推理能力．这也是重视几何教学的一个重要原因．

同时，综合法证明几何元素间的位置关系主要是通过判定定理和性质定理来处理；计算角度和距离是依据作、证、求的三个过程，即，作出所要求的距离和角的辅助线，接着说明所得到的确实是按照定义或概念的距离和角，最后使用正弦定理、余弦定理等平面几何知识来计算得到所要求问题的解．解决这类问题的技巧性较大，综合性较强．不仅要求学生要有合情合理的逻辑推理能力，而且还需要一定的空间想象能力．

4．2 向量法

向量法在立体几何中的运用是通过给出直线的方向向量和平面的法向量来表示空间中对应直线和平面的位置关系，一般的解题思路是按照下面三个步骤来完成：第1步建立图形和向量的联系，用空间向量表示问题所涉及的点、直线和平面，进而把几何问题转化为向量问题；第2步向量运算，通过向量的运算性质来研究几何问题所涉及到的位置关系和计算问题；第3步翻译，把向量运算的结果转译为相应的几何意义．

运用向量法解决这类问题是把空间几何元素之间的各种关系“隐藏”到向量的运算当中去了．这种解题方式关键是要求学生掌握向量这一概念体系，包括平面和空间向量概念定义，运算性质，基本定理，向量的平行、垂直、数量积的坐标运算等，以“数”研“形”，让学生体会到空间向量解决立体几何问题的工具性作用，进一步体会数形结合的思想方法．

在“三新”（新教材、新课程、新高考）背景下，进一步落实“双减”政策与新改革理念，积极贯彻《总体方案》要求，高考立体几何知识模块的命题特色更加创新，更加开放，更加重视数学基础知识、基本技能的掌握，更加重视数学思想方法和数学本质的理解与应用．以立体几何为场景，新课程标准对中学数学学习提出更多、更高的要求，教学中我们需要结合必修与选择性必修两部分内容，注重单元教学设计的课时表达，通过综合法与向量法单独教学与对比教学，更好体现立体几何教学的整体性、逻辑的连贯性、思维的系统性、思想的一致性、方法的普适性，不断全方位、多层次地发展和培养学生数学核心素养，為所有学生的可持续发展与终身学习打下坚实的基础．

本文是江苏省教研室第十四期立项课题：基于素养本位的高中数学大单元教学设计研究（课题号：2021JK14-L263）阶段性研究成果.