一类绝对值双重最值问题的追根溯源

贺旭

一、题引

（1）（2017浙江17）已知a∈R，函數f（x）=x+4/x－a+a在区间［1，4］上的最大值是5，则a的取值范围是.

（2）（2018年浙江竞赛12）设a∈R，x∈［0，1］，且对任意实数b均有maxx2+ax+b≥1，求a的取值范围.

（3）（2019浙江16）已知a∈R，函数f（x）=ax3－x，若存在t∈R，使得ft+2－f（t）≤2/3，则实数a的最大值是.

上述三个题都是绝对值函数问题.含绝对值的最值问题一直是高考考查的热点和难点，这类问题常常灵活多变、扑朔迷离，那么它是否高不可攀、令人望而生畏呢？当我们将这三个问题放在一起寻找它们的共性时，可以抽象得到它的基本形式是f（x）－ax－b，找到统一形式后，就方便我们深入研究.

二、追根溯源

从代数角度可以采用分类讨论去绝对值x=x，x≥0，

－x，x<0， 几何角度绝对值x表示实数x在数轴上对应的点与原点之间的距离，进而x－b的几何意义是数轴上实数x与b之间的距离.

三、理论基础

f（x）－ax－b实际上应用的是切比雪夫最佳逼近直线理论：记集合A={g（x）=ax+b|a∈R，b∈R}，若存在函数g0（x）∈A，使得对任意g（x）∈A，恒有maxm≤x≤nf（x）－g0（x）≤maxm≤x≤n|f（x）－g（x）|（*）成立，则称g0（x）为函数f（x）在切比雪夫意义下的最佳逼近直线，简称最佳逼近直线.

显然，（*）式也可改写为等式maxm≤x≤n|f（x）－g0（x）|=mina，b∈Rmaxm≤x≤nf（x）－g（x）.

绝对值双重最值的实质是求最大值的最小值，将绝对值里的代数式看成两个函数的差，数形结合，转化为两个函数的纵向距离，通过移动其中一条直线，寻找纵向距离的最值.

本文提供的三个题引中，参数有一个也有二个，有正向提问，也有反向提问，但本质都不变，考查的是minmaxf（x）－g（x）.主要目的是培养数学抽象能力，及理性思维能力.

本文从“绝对值”的几何意义出发，设计了环环相扣的问题链，从不含参的绝对值问题到含有一个参数的绝对值问题，再到含两个参数的绝对值问题，从对称曲线到不对称曲线，最后提升到切比雪夫最佳逼近直线理论.整个过程自然、生动、明晰，挖掘问题的各个方面，一个完整的理论分析.

参考文献

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

本文系浙江省宁波市基础教育规划教研课题《基于学科核心素养水平的高考数学命题研究》（课题编号：LX2021117）阶段性研究成果.