“反证法”的一点教学困惑与释疑

刘兰梅　王峰

一、问题提出

选修2-2介绍了“反证法”，此节内容在初中阶段学生也学过，故师生对反证法的证题三步骤已耳熟能详：（1）反设：即假设待证的结论不成立，也就肯定了原结论的反面；（2）归谬：把反设作为条件加到题设中去，通过一系列逻辑推理最终得到矛盾；（3）结论：由所得矛盾说明原命题成立.“反证法”的结构程式是：欲证“若P则Q”，先假设非Q成立，然后由非Q及已知条件B1B2B3…Bn，与“公理、定理、定义、公式、法则及已知条件等”之一矛盾矛盾律“若P则Q”为假排中律“若P则Q”为真.

由此看出，反证法的证题依据是根据逻辑性中的排中律与矛盾律，通过“否定命题结论的反面，从而知原命题的结论正確”，其实质上是驳倒结论的反面，从而反衬出原命题的结论正确，故称反证法属于间接证法.

在多年的教学实践中，笔者一直有个困惑，那就是在运用反证法处理问题中，从“反设（假设结论的否定正确）”出发进行推理论证，导出矛盾，此时我们就说“反设”错误，究竟为何呢？即由“矛盾”怎么就知道一定是由于“反设”造成的呢？其依据的原理是什么？有的教师认为反证法实质上是改正原问题的逆否问题，但反证法证题过程中时，从两个不同角度进行论证，出现“自相矛盾”的现象显然不是证原问题的逆否问题，故知反证法的本质是改证其逆否命题的说法不完全正确，那么由“矛盾断定反设错误”这一理论依据是什么呢？

二、问题解决

众所周知，在运用反证法处理问题时，出现的矛盾的情形概括起来无外乎三种情况：一是与数学知识或常识性知识矛盾；二是与题设条件矛盾；三是自相矛盾.事实上，由于出现矛盾的情形不同，则其由“矛盾”断定“‘假设是错误的”的原理也有所不同，要因“法”而已，下面就根据“矛盾”这三种情形诠释一下它们判断“反设错误”的依据.

（1）当所证的命题是一个“简单命题时”时，这样的命题若用反证法论证时，出现的就是与“常识性知识或题设条件”的矛盾.这种情况的逻辑基础是原命题与其逆否命题的等价性.

案例1 证明2，3，5不可能成等差数列.

证明：假设2，3，5成等差数列，则23=2+5，两边平方得，12=（2+5）2，即证5=25，只要证25=40，这与25≠40矛盾，故假设错误，所以2，3，5不可能成等差数列.由此看出，此题的完整表达应该是：“若25≠40，则2，3，5不可能成等差数列”，而反证法的证明过程体现的是命题“若2，3，5成等差数列，则25=40”的证明，由于“若2，3，5成等差数列，则25=40”是假命题，根据原命题与其能否命题同真假，故知“若25≠40，则2，3，5不可能成等差数列”是真命题.

值得一提的是，当论证的命题就是一个简单命题时，其成立的前提可能是一个常识性结论，没有写出，需要我们仔细辨认，才能发现，本例中“25≠40”就是“2，3，5不可能成等差数列”成立的条件.

案例2 ΔABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证B<π/2.

证明：假设B<π/2不成立，即B≥π/2，则B是ΔABC的最大内角，因此b>a，b>c（在同一个三角形中，大角对大边），从而1/a+1/c>1/b+1/b=2/b，所以1/a，1/b，1/c不成等差数列，这与“a，b，c的倒数成等差数列”矛盾，故假设错误，所以B<π/2. 显然，此例反证法证的就是“ΔABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证B<π/2.”的逆否命题.

（2）当所证明的命题是“若‘p且q，则r”时，这种形式的命题若用反证法论证时，我们常常论证命题“r且pq”或“r且qp”成立，其推理模式是逻辑学中的反三段论，反三段论的前提“如果p且q，那么r”，可以看作一个三段论，反三段论的结论是“如果p并且非r，那么非q”可以看作是把该三段论的一个前提加以否定，结论也加以否定，并且也调换它们的位置而成.反三段论不但前提蕴含结论，而且结论也蕴含前提，也就是说，前提与结论是等值的.

反三段论的形式是：如果p且q，那么r，所以如果（p并且非r），那么非q.（或如果（q并且非r），那么非p）.这个推理形式的有效性可以这样来解释：如果同时具备p，q两个条件，那么就必然出现结果r；当条件p已经具备而结果r没出现时.就可以推断另一条件q没有具备.如零点存在性定理：若函数f（x）在区间［a，b］上连续，且f（a）f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点.这个定理的条件有两个：（1）函数f（x）连续；（2）f（a）f（b）<0，结论是“f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点”.“假设f（x）在区间（a，b）上没有一个零点且函数f（x）在［a，b］上连续，则f（a）f（b）≥0.”或“假设f（x）在区间（a，b）上没有一个零点且f（a）f（b）<0，则函数f（x）在［a，b］不连续.”

由此看出，反三段论的本质是在题设条件有两个时，即“如果p且q，那么r，”将一个条件p保持不变的情况下，反证法论证的命题是“若非r，则q”，这就是原命题在条件p不变的情况下，命题“若q，则r”的逆否命题，故根据原命题与其逆否命题的等价性，由于反三段论命题：将一个条件p保持不变的情况下，“若非r，则q”是正确的，故知故知原命题在条件p不变的情况下，命题“若q，则r”是真的.反三段论在思维中上经常用到的，如果几个条件联合起来构成某一情况的充分条件，那么当该情况不出现时，就可推出几个条件中至少有一个条件不具备，凡是作这样的推理时，我们就是应用了反三段论的形式.

案例3 函数f（x）在R上是递增的，且f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b），则a+b≥0.

证明：假设a+b<0，则a<－b，b<－a，因为函数f（x）在R上是递增的，所以f（a）>f（－b），f（b）>f（－b），两式相加，得f（a）+f（b）

值得注意的是，利用“反三段论式”推理的反证法，也可理解为改证原命题的逆否命题，这与“反三段论式”的理解是如出一辙，本质一样.因为当命题的条件和结论不止一个时，原命题的逆否命题不是唯一的，且逆否命题含有原命题的部分条件，这将有助于应用反证法时采用不同的推理方法.例如，“若a，b都是正数，则ab是正数”为原命题，则“若ab不是正数且a正，则b不是正数”、“若ab不是正数且b正，则a不是正数”，它们都是原命题的逆否命题，故与原命题都是等价的.如案例3中，“若函数f（x）在R上是递增的，且a+b<0，则f（a）+f（b）

（3）当用反证法论证时，将结论的反面与题设所有条件都参与使用时，就会出现自相矛盾的现象，这种情形的推理模式是逻辑学中的归谬式推理.归谬式推理是根据某一判断蕴含着两个不可同真的结果，推出该判断为假的推理.归谬式推理的一般形式是： 如果P，那么Q

如果P，那么Q

所以非P

这个推理形式的意思是：如果从一个假定能够合乎逻辑地导出互相矛盾的结果来，则原来的假定不成立.

在这个推理模式中，为什么由“如果P，那么Q与 如果P，那么Q”就可知命题P是错误的呢？其原理是什么呢？因为“如果P，那么Q”“若Q，则P”，又“如果P，那么Q”，故由“PQP”，显然这样的命题P不存在，即非P.

特别指出的是，在利用反证法论证命题是，命题P是指“题设条件+反设”.如不妨设欲论证的命题为“若p，则q”，若用反证法论证命题“若p，则q”时.假设q成立，即将q作为已知条件，如再联手题设条件p，若从两个角度进行推理，导出r与r得矛盾出现，就属于归谬式推理，因为运用反证法论证时，若将p与q作为推证的条件，此时记“p与q”为P，则若由P既可推出r，又可推出r，根据归谬式推理知，命题P错误，即“p与q”错误，说明“p与q”至少有一个错误，而命题p是题设条件为真，故知q必错，根据矛盾律与排中律，知q必正确.

案例4 a，b，c均为实数，且a=x2－2y+π/2，b=y2－2z+π/3，c=z2－2x+π/6，求证：a，b，c中至少有一个大于0.

证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0；又a+b+c=（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3≥0，这与a+b+c≤0矛盾，故假设错误，所以a，b，c中至少有一个大于0.

本案例中，命题P为“a=x2－2y+π/2，b=y2－2z+π/3，c=z2－2x+π/6，且a≤0，b≤0，c≤0”，由上述解答知，Pa+b+c≤0，又能有Pa+b+c>0，根据归谬式推理知命题P错误，即“a=x2－2y+π/2，b=y2－2z+π/3，c=z2－2x+π/6，且a≤0，b≤0，c≤0”错误，而“a=x2－2y+π/2，b=y2－2z+π/3，c=z2－2x+π/6”是条件，其为真，故只有是“a≤0，b≤0，c≤0”错误，因此知a，b，c中至少有一个大于0.

案例5 （人教版2-2选修第90页例题）：求证2是无理数.

证明：假设2不是无理数，那么它是有理数，于是，存在互质的正整数m，n，使得2=m/n，从而有m=2n，因此m2=2n2，所以m为偶数，于是设m=2k（k为正整数），从而有4k2=2n2，即n2=2k2，所以n也是偶数，这与m，n互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，所以2是无理数.

由于本例没有什么条件，故利用反证法论证的过程中，出现的是自相矛盾，属于归谬式推理，因为命题P：2是有理数2=m/n（正整数m，n）中m，n既互质又不互质，根据归谬式推理的判断知，命题P错误，既“2是有理数”错误，所以2是无理数.

当然，究竟推证的“矛盾”究竟使用三类中的哪一类，与论证过程的表达方式有关，如案例2，运用反证法也可这样表达过程：

假设B<π/2不成立，即B≥π/2，则B是ΔABC的最大内角，因此b>a，b>c（在同一个三角形中，大角对大边），从而1/a+1/c>1/b+1/b=2/b；又a，b，c的倒数成等差数列，所以1/a+1/c=2/b，这与“1/a+1/c>1/b+1/b=2/b”矛盾，故假设错误，所以B<π/2.

显然，这个证明过程可看作归谬式推理模式，此时命题P为“a，b，c的倒数成等差数列，且B≥π/2”，由推证过程，知命题P，既推出1/a+1/c=2/b，又能推出1/a+1/c>2/b，根据归谬式推理知，命题P错误，即“a，b，c的倒数成等差数列，且B≥π/2”错误，又“a，b，c的倒数成等差数列”是已知条件为真，故只有B≥π/2错误导致P错误，因此B<π/2.

三、教学思考

对于反证法的学习，常常表现为学生问教师：“反证法这一内容高考考不考？”从这个问法就可看出学生对于“反证法”的学习容易产生误解，认为学习反證法就是为了做题，实则时是对反证法的学习价值的认识不到位，的确，表面上，多年来高考试题没有明显呈现“反证法”的题目，但是运用反证法解题的思想无不是不知不觉中在使用.

例如在解答选择题时，我们为了判断某个选择支是否正确，不妨设A选项，若直接不易判断A是否正确，我们常常假设这个选择支A正确，如果结合题设条件进行推理，不出现矛盾，就认为A正确；如果结合题设条件进行推理，出现了矛盾，就认为A错误，这一错误判断的过程，其实就是使用了反证法的“反证思想”.

又如，举反例也是我们驳倒某个命题的常用方法，其实质上就是反证法的运用.特别是，当提出一个命题之后，就面临两种选择：一是推证命题成立；二是寻找一个满足命题的条件使结论不成立，从而否定这个命题，这就是举反例.

事实上，举反例是一种重要的反证手段，故学会构造反例也是一种重要数学技能，应该成为数学教学的基本内容而渗透于教学过程之中，所以学习反证法的意义重大，但为什么经常使用“反证法”的思想解题，而没有意识到在使用反证法呢？笔者认为根本原因是没有理解透反证法的原理所致，将反证法的三个步骤只是死记硬背的结果，解题时机械操作过程罢了，之所以出现这种现象，笔者认为教师在教授“反证法”时，推理讲的多，而对“反证法”的原理分析的少，结果导致学生知其然而不知所以然，很大程度上是我们教学中没有讲清楚根源，不清楚的讲解，学生没消化，不能做到融会贯通.本文给大家关于“反证法”的一个困惑解释一下，相信对大家有一定的帮助.

本文是2022年安徽省教育科学研究项目：“双新”背景下学生数学核心素养培育的高中课堂教学实践研究（课题编号：JK22033）阶段性研究成果.