一道高考导数压轴题的解法探究

李方　杨沛娟

一、试题呈现及分析

（2021年全国新高考第22题）已知函数f（x）=x（1－lnx）.（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna－alnb=a－b，证明：2<1a+1b

分析：（1） 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，求出函数的导数，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.

（2）将题中的等式进行恒等变换，设1a=x1，1b=x2，原不等式等价于2

二、试题解答

第（1）小题解法如下：f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）=x（1－lnx）得f′（x）=－lnx，当x=1时，f′（x）=0；当x∈（0，1）时f′（x）>0；当x∈（1，+∞）時，f′（x）<0．故f（x）在区间（0，1］内为增函数，在区间［1，+∞）内为减函数.

评注：解法5用到的是构造函数法，构造函数之后想办法出现关于x1+x2－e<0的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.