一道联考试题的探究

黄海霞

题目 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，长轴长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点（1，0），求实数k的取值范围.（2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高三联考）

答案：（1）椭圆C的方程为x24+y2=1；（2）实数k的取值范围为k>55或k<－55，即k>55.本题（2）内涵丰富，值得深入探究.

1.探究一般性结论

对于本题（2），我们自然要问：若直线l：y=kx+m（k≠0）与一般的椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点（x0，0），那么，实数k的取值范围是什么？经探究，可得如下一般性结论.

结论1 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），若斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点（x0，0）（0bx0（a2－b2）2－a2x20.

证明：设直线l：y=kx+m（k≠0），将其代入椭圆C的方程，得b2x2+a2（kx+m）2－a2b2=0， 整理得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2－b2）=0. Δ=（2a2km）2－4（a2k2+b2）·a2（m2－b2）=4a2b2（a2k2－m2+b2），于是Δ>0m20 ②. 又由条件知直线MN的垂直平分线的方程为y=－1k（x－x0）.将点P的坐标代入得b2ma2k2+b2=－1k（－a2kma2k2+b2－x0） b2km=a2km+（a2k2+b2）x0m=－（a2k2+b2）x0（a2－b2）k－（a2k2+b2）x0（a2－b2）k2b2x20（a2－b2）2－a2x20（注意到②式）k>bx0（a2－b2）2－a2x20.

特别地，当a2=4，b2=1，x0=1时，k>1×1（4－1）2－4×12，即k>55或k<－55.这就是上述试题第（2）小题的答案.

2.探究双曲线、抛物线的情形

对于双曲线、抛物线，是否具有相应的性质？经探究，可得

结论2 已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），若斜率为k（k≠0）的直线l与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点（x0，0）（x0>a2+b2a），则实数k的取值范围为k>bx0a2x20－（a2+b2）2或k

证明：设直线l：y=kx+m（k≠0），以“－b2”替换结论1证明过程中的“b2”，可得Δ=－4a2b2（a2k2－m2－b2），m=－（a2k2－b2）x0（a2+b2）k.于是Δ>0m2>a2k2－b2－（a2k2－b2）x0（a2+b2）k2>a2k2－b2. 当a2k2－b2<0，即k0时，可得（a2k2－b2）x20>（a2+b2）2k2 k2>b2x20a2x20－（a2+b2）2（注意到由x0>a2+b2a，可得a2x20－（a2+b2）2>0）k>bx0a2x20－（a2+b2）2.综上，结论2得证.

结论3 已知抛物线C：y2=2px（p>0），若斜率为k（k≠0）的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点（x0，0）（x0>p），则实数k的取值范围为k>p2（x0－p）.

证明：设直线l：y=kx+m（k≠0），代入抛物线C的方程，得（kx+m）2－2px=0， 整理得k2x2+2（km－p）x+m2=0.由Δ=4（km－p）2－4k2m2>0－2pkm+p2>0kmp2k>p2（x0－p）.

3.試题链接

应用上述结论，可简捷解决一类有关问题.

题1 （2015年全国高考浙江卷（理）19）已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+12对称.（1）求实数m的取值范围；（2）略.

简析：由条件知a2=2，b2=1，直线AB的斜率k=－1m，线段AB的垂直平分线过点（－12m，0）即x0=－12m=k2.由结论1得k>1×k2（2－1）2－2×（k2）22－k2>12k2<32m2>23m>63或m<－63.

题2 （2008年全国高考天津卷（理）22）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点为F1（－3，0），一条渐近线的方程为5x－2y=0.（1）求双曲线C的方程；（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k的取值范围.

简析：（1）双曲线C的方程为x24－y25=1（过程略）.（2）设线段MN的垂直平分线与x，y轴的交点分别为（x0，0），（0，y0），由条件知y0－x0=－1k，x0y0=81，由此可得x20=81k，x0=9k.由结论2得k>5×9k4×81k－（4+5）2；或k<524k2－k－5>0，或k<52k>54，或k<52.又k≠0，则k的取值范围（－∞，－54）∪（－52，0）∪（0，52）∪（54，+∞）.

题3 （2016年全国高考江苏卷（理）25）在直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2=0，抛物线C：y2=2px（p>0）.（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q，

①求证：线段PQ的中点坐标为（2－p，－p）；

②求p的取值范围.

简析：（1）抛物线C的方程为y2=8x（过程略）.（2）①证明过程略：②由条件知，直线l： x－y－2=0为线段PQ的垂直平分线，则x0=2（2>p），直线PQ的斜率k=－1.据结论3，得－1>p2（2－p）2（2－p）>pp<43.又p>0，p的取值范围为（0，43）.