问题式教学法发展学生核心素养的教学实践

摘 要：高中新课程标准的实施，目的在于培养学生的核心素养，新教材的使用，对学生的学习能力和教师的教学方法提出了更高要求.

本文通过“基本不等式”进行问题式教学设计实例，阐述了问题式教学过程中如何利用问题串来帮助学生分析和解决问题，从而达到培养学生核心素养的目的.

关键词：问题式教学；核心素养；教学设计

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）21-0047-03

收稿日期：2023-04-25

作者简介：张青萍（1990.11-），女，福建省漳州人，学士，中学二级教师，从事高中数学教学研究.

问题设计的质量高低是问题式教学是否能成功的关键.部分教师设计了很多问题，但有些属于无效提问，无法引导学生准确找到答题采分点，最终教师只能强行将知识塞给学生，不利于培养学生的核心素养.为此，笔者以“基本不等式”教学设计为例，探讨在问题式教学中问题串应该如何设计，学生应该如何引导.

1 教学内容及目标分析

1.1 内容分析

本节课内容为“基本不等式”，选自人民教育出版社A版普通高中数学教科书必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》第2节，学生在本节课之前掌握了不等式的性质，并学习了重要不等式，为本节课学习基本不等式奠定了基础.

1.2 教学目标

（1）引导学生从实际问题出发，总结出基本不等式，并掌握代数法、几何法证明.

（2）注意基本不等式的适用范围及取等条件，并能够利用基本不等式解决一些简单的最值问题和实际问题［1］.

（3）培养学生观察、猜想、证明、抽象概括、分析问题和解决问题的能力.

2 教学过程

2.1 情境引入

妈妈让小圆去市场买一斤苹果.妈妈想看小贩有没有缺少斤两，就想称一下苹果重量，但家里没有秤，只找到一台左右臂不等长的天平，其余均精确.妈妈先将苹果放在左边托盘称了一次，重量为450 g，再将苹果放在右边托盘又称了一次，重量为550 g，于是妈妈得到结论：苹果重量刚好是两次所称重量的和的一半，即500 g，小贩没有缺少斤两.妈妈的说法对吗？如何证明？

设计意图：从生活实例出发，让学生体验数学来源于生活，引导学生从中抽象出数学模型，解决数学问题，激发学生的探索欲望和学习兴趣.

2.2 分析问题

问题1：大家知道天平称重的原理吗？

学生：杠杆原理.

追问：具体是如何操作的？

学生：在天平的两端各有一个盘子，一端盘子放砝码，一端盘子放物体，当两端平衡时，砝码的重量即为物体的重量.

问题2：能利用天平精确称重的关键在哪里？

学生：天平的左右力臂等长.

追问：为什么？能否给出数学解释？

学生：假设左右力臂长均为l，物体重量为M，砝码重量为m，重力加速度为g.由lMg=lmg可得M=m，即物体重量与砝码重量相等.

师：很好，这样可以得到当左右力臂不等长时，物体的重量和砝码的重量是不相等的.

问题3：妈妈的做法能否得到正确的重量呢？大家讨论一下.

2分钟以后，老师请同学们举手发表意见.

学生1回答预设：我觉得可以，因为左右力臂不等长，两次称得的重量一次偏轻，一次偏重，两次相加取平均应该正好.

学生2回答预设：我觉得不可以，因为虽然两次称得的重量一次偏轻，一次偏重，两次相加取平均不一定能刚好等于实际重量，可能还与力臂具体长短有关.

学生3回答预设：我也觉得两次相加取平均不一定能刚好等于实际重量，但是与力臂具体长短应该也无关.

师：能否从原理入手验证上述三位同学的说法究竟谁对谁错？真实重量应该如何计算？

问题4：我们不妨假设物体实际重量为M，天平左右两臂长分别为l1和l2，两次称量结果分别为450 g和550 g，大家能否得到这些量之间的关系？

学生：l1M g=450l2 g，l2M g=550l1 g.

追问：能否消去l1，l2？

学生：两式相乘得M2=247 500.

追問：根据这一计算结果，哪位同学的想法是对的？小圆妈妈的方法是否正确？

学生：5002=250 000>247 500，不难看出小圆妈妈的做法不能得到精确的重量，实际重量应该要偏轻，并且与力臂具体长短无关，第三位同学想法正确.

问题5：大家能不能从这一实例中抽象出一个一般的数学不等式？

学生：两次称量结果设为a和b，则a+b22>ab即a+b2>ab.

追问：其中a和b有什么限制吗？有没有满足什么关系？

学生：a和b都是正数，并且a与b不相等.

追问：那如果a与b相等，不等式会发生改变吗？

学生：a=b时a+b2=ab.

追问：那大家能否将这个不等式补充完整？

学生：a+b2≥ab（a>0，b>0），当且仅当a=b时等号成立.

师：很好，这个不等式我们称为基本不等式.大家能否给出证明？

设计意图：设置问题1和2引导学生回答出天平称重的原理，为下一问作铺垫；设置问题3让学生自主思考、讨论；设置问题4引导学生自行论证观点的正确性；设置问题5引导学生将特殊转化为一般，提高学生的抽象概括能力.通过追问，引导学生进行更深入的思考.

2.3 解决问题

问题1：我们学过哪些方法可以证明不等式？

学生：作差法，分析法，综合法，反证法等等.

问题2：此不等式可以考虑用什么方法来证明？

学生：a+b2-ab=a+b-2ab2=a2+b2-2ab2=a-b22≥0，

所以a+b2≥ab（a>0，b>0），当且仅当a=b即a=b时等号成立.

师：很好，这样我们可以得到基本不等式的证明.

师：那大家还有其它证明方法吗？

为了提高学生的学习兴趣，设置如下折纸实验：

师：现在请同学们拿出让你们事先准备好的三张正方形卡纸，两大（一样大）一小.先拿出一大一小的两张正方形卡纸，我们不妨假设大的正方形面积为a，小的正方形面积为b.先将两张正方形卡纸分别沿对角线折成等腰直角三角形，再将两个等腰直角三角形沿对角线拼在一起，构造一个两边分别等于两个直角三角形直角边的矩形，将多出来的部分切除，如图1.

图1 大小正方形

问题：思考两个直角三角形的面积和与矩形面积的关系，大家能得到什么结论？

学生：两个正方形的边长分别为a和b，四个直角三角形的面积之和a+b2大于矩形的面积ab.

教师借助PPT动态演示，直观展现折纸过程，得到ab

师：接着请大家拿出另外一张大的正方形纸片也沿对角线折成等腰直角三角形，将两个大三角形沿对角线拼在一起，看看又能得到什么结论？

学生：动手折纸拼接后得到a·a=a+a2即当a=b时ab=a+b2.

师：很好，这样我们就得到了基本不等式ab≤a+b2（a>0，b>0）的一种几何证明.

设计意图：通过折纸实验，激发同学们的学习兴趣，引导学生通过自己动手、观察，得出基本不等式的几何证明，印象深刻［2］.

2.4 实际应用

例题1 （1）用一根铁丝做一个矩形框，当框的面积为36 cm2.所用铁丝最短多少？

（2）用一根长为36 cm的铁丝做一个矩形框，问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？

追问：例题中的定量是什么，变量是什么？能求解什么样的最值问题？

设计意图：实际应用题可以提高学生的读题、析题能力，并将所学知识应用到实际生活中.通过追问，引导学生总结能够利用基本不等式求解最值问题的特征，得出结论：对于任意的正实数x，y，若xy=m（定值），则当且仅当x=y时，x+y有最小值2m；若x+y=m（定值），则当且仅当x=y时，xy有最大值m24.鼓励学生自己探索推导，可以让学生加深对基本不等式的理解，锻炼学生的数学思维.

例题2 求y=x+1x（x>0）的值域.

变式：若x>2，求x+1x-2的最小值.

2.5 回顾总结

你在这节课上学到了什么？运用了哪些数学思维方法？学生概括总结后，教师补充完善.

设计意图：让学生能够形成这节课的知识框架，对探究过程及方法有一个清晰的认识.

2.6 课后巩固

已知x>0，y>0，且2x+8y=1，求xy的最小值.

设计意图：通过课外作业的布置，实现对课堂知识巩固和加强的目的.不仅考查了基础，还探索了实际问题，作业呈现方式多样，较好地调动了学生的学习积极性，感受数学带来的乐趣，并让学生体会数学来源于生活，又应用于生活，能利用所学知识解决生活中的实际问题，做到真正学有所用，学以致用.

3 教學反思

在本节课的教学设计中，教师以提出问题和解决问题为主线，使学生一直处在思考探索中，有利于培养学生的学习兴趣，提高课堂效率.教师围绕教学目标精心设计每一个教学环节，引导学生自主完成基本不等式的探究和证明.在教师创设的问题情境中，教师只是在适当的时候引导学生，给学生留下思考和探索的空间.通过一式多证锻炼学生思维，拓宽学生思路.设置折纸实验，让大家直观的感知并证明基本不等式，增加学生的学习兴趣.利用多媒体使课堂更加生动活泼，例如折纸实验中借助PPT动画使整个过程更加清晰明了.通过让学生自己编写问题，引导学生自主提问，体现了以发展学生数学核心素养为导向的教学意识.

参考文献：

［1］ 王禹桐，孔德宏.问题驱动式教学在微课设计中的应用探究：以“抛物线的光学性质”为例［J］.中学数学月刊，2022（04）： 29-31.

［2］ 王燕.以问题设计为手段 发展学生核心素养：以“两角和与差的余弦公式”教学为例［J］.中学数学月刊，2022（02）：37-39.

［责任编辑：李 璟］