运用构造法解决高中数学试题

摘 要：高中数学试题具有复杂性和抽象性，学生不易找到解决的方法，这就要求教师既要注重培养学生善于观察试题的能力，也要注重培养学生的思维能力，依据试题的特点构造出典型的模型，从而有效地解决试题.构造法的运用，既有助于启发学生的创新思维，又有助于培养学生的数学思想意识，教师需引导学生尝试运用构造法解决复杂数学问题，灵活地构造出已知模型，顺利解决高中数学问题.文章将以具体的试题为例，阐述构造法的具体运用，旨在帮助学生学会运用构造法解题的技巧.

关键词：高中数学；构造法；解题策略

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）21-0005-03

收稿日期：2023-04-25

作者简介：刘明花（1978.11-），女，甘肃省庆阳环县人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

数学知识通常具有较强的抽象性与复杂性，尤其是综合性试题，常常会使学生陷入解题困境.当正向的解题思路不能迅速求解出数学问题时，就需灵活运用逆向思维，通过构造法分析问题，挖掘数学试题中的显性与隐性信息，迅速地找出问题求解时必备的解题条件，构造成已知的数学模型，简化试题的求解过程，高效解决问题，提高学生的解题能力.

1 构造法概念及其作用

1.1 构造法的概念

构造法主要是指依据数学题中已知条件与所求结论之间的关系、特征和性质，运用新的角度去分析和观察研究对象，以反映问题条件与结论之间的内在联系为主线，灵活地运用问题的坐标、数据和外形等方面的特征，通过试题中给出的已知条件，运用已有的数学关系式或是理论工具构造成满足试题条件或结论的数学对象，这样就能够通过构造新对象的方法将试题中的隐含条件和关系展现出来，并通过新构造的对象高效、简便地解决复杂的数学问题.对于构造法而言，其主要的优势就是帮助学生更加简洁地分析数学试题，迅速构建具体解题思路，以促使学生迅速、有效地解决相关数学试题［1］.

1.2 构造法在解决高中数学试题中的作用

构造法主要是依据题设条件或者是结论之间所具备的性质、特征，构造与条件或者结论相符的数学模型或对象，并通过构造新的数学模型或对象有效地解决数学问题.将构造法运用于解高中数学试题中，通常有着重要作用，具体表现为：

第一，有利于提高学生的解题能力.构造法是解决复杂数学试题的一种重要方法，学生只有掌握了构造法在试题问题解决中的运用技巧，才能实现学生解题能力的提升.

第二，有利于提高学生的思维能力.数学学科通常对学生的思维能力有着较高的要求，学生在学习数学知识时，不仅需掌握数学的概念、公式，而且还需具备思维意识.而构造法的应用，就能使学生形成主动探索的创新思维，通过类比、归纳、转化等数学思想，实现数学模型或对象的构造，实现高效解题的目的.

第三，有利于提高学生的联想能力.在解决高中数学试题中运用构造法的前提就是学生要具备一定的联想能力，通过试题中图形或数量的特征展开联想，引入相应的数学模型或对象，从而运用已有的方法和经验解决问题.因此，数学解题的教学中，教师需引导学生积极联想，从问题的结构和特征联想到类似的已知问题，构造一个类似的简单问题进行分析和研究，从而使学生形成相应创新能力［2］.

第四，有利于提高学生命题转化的能力.高中阶段的数学学科有许多的知识点，大多数学生在实际学习中，容易忽视各个知识点之间的关联，导致其掌握的数学知识缺乏关联性与完整性.

2 构造法运用于高中数学的教学策略

2.1 培养学生的构造理念

构造法的运用，通常能够提高学生的解题正确率与效率.高中数学的题量、难度都比较大，想要使学生能够主动地掌握数学知识，激发学生的解题积极性，教师需引导学生尝试在数学问题中运用构造法进行分析和解决，以帮助学生更好地掌握构造法的解题技巧，并为后期的练习奠定基础，形成应用构造法解题的意识，能够运用特殊情形构造、联想构造、命题转化、间接构造等方法分析和解决问题，使学生充分理解构造法的同时，实现高效解题.因此，在数学教学中，教师需以具体的问题为载体，积极地渗透构造的思想与方法，以此使学生有效了解到运用构造法进行数学试题解答的优势，突破常规的解题模式，简化解题步骤，提高解题能力.

2.2 培养学生的发散思维

以往，教师常常依据常规的方法引导学生对问题实施分析和解决，而学生依据教师的方法和步骤开展解题活动，导致思维活跃度不高.对此，数学教师在课堂教学当中，要引导学生从不同的角度和层面进行问题的分析，尝试运用不同的方法构造已知条件与结论之间的内在联系，开阔学生的解题思路，发散学生的思维，提高學生解决数学问题的能力.由此可知，想要使学生运用构造法有效解决数学试题，学生自身的思维培养也是极其重要的.

2.3 与多种解题法结合

就构造法来说，因为其能够帮助学生迅速找出解题思路，实现解题效率与正确率有效提高而被广泛运用.但是，构造法并不能适用于所有的数学试题.因此，学生在进行数学题解答时，只有依据试题的特征熟练应用各种解题方法，才能实现高效解题.例如，函数问题是高中数学较为常见的试题，在实施解题的时候，可通过函数的极值思想进行解题，此时，构造法就不再适用，又或者学生通过两边平方进行方程题解决时，构造法的运用也是不合适的.对此，构造法的运用目的主要是帮助学生形成一定的联想与关联能力，让学生通过教师所讲解的理论知识，尽量迅速地掌握更多的解题方法，这样学生在具体解题时，才能够充分了解到构造法具备的优势与不足，并形成数学思维，能够在具体问题中正确地运用构造法高效解题，提高学生的数学综合水平.

3 运用构造法解决高中数学试题的策略

3.1 运用已知条件构造函数

构造法在数学解题中的运用，主要是引导学生依据数学试题已知条件与结论之间具备的特性进行分析，构造能够直观体现试题条件与结论内在联系的数学对象或模型，从而有效解决问题.学生在解题的时候，不仅能形成清晰的思路，而且还能发现数学知识的本质规律，通过数学试题的已知条件，构造相关的函数内容，有效解决问题.例如，在“解不等式”的教学时，大多数学生在面对问题的时候，会通过传统思维的方式解题，虽然这样也能够获得答案，但是解题的整个过程较为复杂，运算量比较大，学生容易出现错误.因此，为了防止该类情况出现，数学教师就需引导学生通过构造法对“不等式”试题的条件和结论之间的特征实施分析，通过已知的条件进行函数构造，利用函数的单调性和图形，对论证的过程实施深化.

例题1 已知x、y、z都位于区间（0，1）中，求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

分析 试题只给出了x、y、z的定义域，看似和求证内容并没有太多联系，学生没有直接证明的思路.通过观察试题的结论，发现其可以变形为（1-y-z）x+（y-yz+z-1）<0，因此可以尝试构造关于x的函数f（x）=（1-y-z）x+（y-yz+z-1）.

3.2 运用等量关系构造方程式

在面对相对复杂、抽象的数学问题时，通常会出现多个因变量或自变量，这就需要学生充分掌握数学基本概念.数学教师以此作为基础，指导学生依据变量的特征和数量关系进行方程式构造，不论是一元二次的方程式，还是二元二次的方程式，在具体解题中，都需将未知量的解决作为解题目的，在面对定量关系的时候，业可依据等量关系进行方程式的构造.

例题2 已知a>b>c，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的取值范围.

分析 试题中并没有给出取值范围，a，b，c之间也没有明显的区别，通过观察，发现构造方程，利用方程的定义、系数之间的关系能够建立起已知条件与结论之间的关系，有效地解答a+b的取值范围.a+b+c=1可以变形为a+b=1-c；两边平方：（a+b）2=（1-c）2，代入a2+b2+c2=1得：ab=c2-c.因此，可以构造两个实根为a、b的方程式：

x2+（c-1）x+c2-c=0.

3.3 运用题设特征构造数列

等差数列、等比数列是高中数学知识体系中的重要内容，数列有许多的性质，也是高考的必考内容.在对数列问题进行解决时，可通过构造法的运用，将不规则的数列转化为规则的等比或等差数列，从而运用数列的概念和公式解决问题.在构造法的具体运用中，教师需指导学生进行题设特征分析，以联想或等效替代的方式进行等差数列或等比数列的构造，明确数学问题的具体求解要点，化繁为简，从而使学生实现高效解题.

例题3 已知在数列{an}中，a1=1，并且an+1=2an+1，求数列{an}的通项an.

分析 通过观察，数列{an}中，前后两项之间的关系既不符合等比数列的要求，也不符合等差数列的要求，{an}是一个特殊的数列，这就使得其通项an难以用等比数列或等差数列的性质求出.因此，通过观察an+1=2an+1，进行变形an+1+1=2an+2，構造一个等比数列{an+1+1}，问题就迎刃而解.

3.4 运用数形结合思想构造图像

高中数学教学中，数形结合思想是解决问题的有效方法，在一些不易直接求解的代数问题中，可以借助问题的条件构造图像，将代数问题转化为直观的图像，通过图像直观、准确地解决问题.

例题4 求函数f（x）=cosxsinx-2的值域.

分析 对函数f（x）=cosxsinx-2的值域进行求解的时候，如果按照传统的课堂教学模式下，学生在复杂的计算过程中，不仅浪费了大量的时间，还容易出现错误，无法保证答案的正确性.据此，就可以引导学生运用sinx2+cosx2=1这一性质，将sinx、cosx看作是圆sinx2+cosx2=1上的一点，构造图像（如图1）（单位圆图），则原问题就转化为求圆上任意一点与（2，0）连线斜率的问题，借助图像的观察，对其值域进行正确求解.

综上所述，构造法是解决复杂数学问题的有效方法.但是，即便学生已经熟练地掌握了构造法的内涵，在运用其解决具体的问题时仍然具有较大的难度.因此，教师需引导学生观察复杂数学问题的特征，尝试通过构造函数、方程式、数列等方法进行问题的解决，帮助学生掌握数学构造思想，提高学生的解题效率.

参考文献：

［1］ 李逾洹.高中数学解题中“构造法”的应用［J］.新教育时代电子杂志（学生版），2017（19）：150.

［2］ 高慧明.割补法、构造法、特值法应用综述：高中数学解题基本方法系列讲座（9）［J］.广东教育（高中版），2018（3）：20-22.

［责任编辑：李 璟］