打造高中数学教学的“五重境界”

［摘  要］ 对于高中数学教学，不同的教师对其有着不同的认识，于是自觉与不自觉将自身的教育理念置于某种教学境界中. 在教学中，教师除了讲授现成知识和方法外，还应关注学生综合能力和综合素养的培养，关注学生情感和价值观的培养，在和谐教育、愉快教育、充满爱的教育理念的指导下，开展有意义的教学，建构有价值的课堂.

［关键词］ 教学境界；综合素养；教育理念

在素质教育的影响下，教师的教育理念和教学思想获得了较大发展. 但不同的教师具有不同的学识和能力，对课堂教学也有着不同的理解，因此在课堂上有着不同的表现. 有的教师认为课堂教学应以知识的讲授为主，有的教师认为课堂教学的关键在于学习方法的指导和解决问题能力的培养，有的教师认为课堂教学应该注重学生自主学习能力的提升和学习兴趣的培养……因为教师的不同认识，使得教学中出现了不同的教学境界. 笔者结合案例，浅谈自己对不同教学境界的认识，仅供参考.

教知识

教知识是课堂教学的基本要求，是教师开展课堂教学的首要任务. 为了“教好”，让学生学得轻松、学得愉悦，首先教师要有海量的知识、宽广的胸怀和开阔的视野，其次教师要有传授知识的必要技能，能让学生在最短的时间内学习更多的内容，最后教师要足够了解学生，能结合具体学情开展有效教学. 如果教学中教师不重视指导学生学习方法，不重视学生的具体学情，只是中规中矩地按照课前预设开展教学活动，那么这样的“教”会显得格外单调、乏味，不利于激发学生的学习欲望.

例1 已知双曲线C：x2-y2=1及直线l：y=kx-1.

（1）若直线l与双曲线C有交点，求实数k的取值范围；

（2）已知直线l与双曲线C相交于A，B两点，O是坐标原点，若△AOB的面积为，求实数k的值.

师：对于问题（1）中的“有交点”，你是如何理解的？

生1：直线与双曲线“有交点”，分两种情况：一是有两个交点；二是有一个交点.

师：很好，现在我们一起研究一下，当有两个交点时，应该如何求解？（教师预留时间让学生计算，并简述解题过程）

生2：由题意联立方程并化简得（1-k2）x2+2kx-2=0，则有1-k2≠0，

Δ>0，得-

师：很好，有一个交点会是什么情况呢？

生齐声答：相切.

师：很好，对于直线与双曲线有一个交点，只有相切这一种情况吗？（教师引导学生继续探讨）

生3：还有与双曲线的渐近线平行这种情况.

师：说说你们的答案.

生4：当直线l与双曲线C相切时，解得k=±且k≠±1.

生5：当直线l与双曲线C的渐近线平行时，解得k=±1.

师：很好，综上可得，当直线l与双曲线C有交点时，-≤k≤.

（对于问题（2）的教学过程，笔者在这里不再展开阐述）

从上述教学过程来看，表面上是师生通过探究共同完成的，但求解思路是在教师的引导下形成的. 教師只是教会了学生解题的方法，并没有真正激发学生的求知欲，教学仅停留于知识的传授，属于“授之以鱼”的教学境界. 想让学生更好地融于课堂，其实教师应多听听学生的声音，不同的学生有着不同的认知，有着不同的思维方式，解题时也会呈现出多样化的方法，教师应多留一些空间让学生来展示他们的思维过程，从而在不同思维的碰撞下，激发学生的求知欲.

教方法

在教学中，若教师只关注书本上现成的知识和现成的解法，不带领学生经历知识生成和发展的过程，则很难发散学生的数学思维，提升学生的分析能力. 要知道，任何事物都是在发展变化的，教学中教师过于墨守成规，如何让学生去体会创新的价值？如何让学生拥有创新的能力？与其直接“灌输”知识，不如教给学生获取知识的方法，这样学生才能根据自己“之所需”去发现、去探究，从而在主动的认知建构中获得新知识、新技能.

例2 已知集合｛（x，y）

x∈［0，2］ ，y∈［-1，1］ ｝.

（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；

（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率.

求解本题时，教师坚持“以生为本”，学生先根据几个常见的基本概型间的区别和联系，知晓问题（1）为古典概型，问题（2）为几何概型；接下来分析出了基本事件，并结合概型公式顺利地求解了问题. 课后交流时发现，学生之所以能够顺利求解，是因为他们熟练掌握了解题的方法，牢牢抓住了问题的本质特征，能够灵活套用已有知识和解题方法顺利解决问题.

在教学中，教给学生求解方法本无可厚非，但是若学生解题时仅局限于机械套用，这样学生的思维能力和创新意识并不能获得较大发展，而且机械套用容易造成思维定式和思维疲劳. 在教学中，教师要将学生看成知识的创造者，而非被动接受者. 不过在教方法的活动中，部分教师并没有真正摆脱“任务式”教学的束缚，依然停留于应试教育的范畴. 在教方法的过程中，这些教师不管学生是否喜欢、是否接受，对学生是否有益，只是单纯地从自我认知出发，将自己认为好用的、方便的、易于理解的知识和方法强行地灌输给学生，并通过专项训练加以强化，迫使学生应用同样的方法去解决问题. 虽然在一定程度上能够提升学生的解题技能，但是“强灌”也容易使学生产生厌学情绪. 教师切勿将现成的知识、方法、能力当成教学的全部，如果那样做也许能训练出“高分”的学生，但并不能培养出具有独创精神的人才.

激情趣

想要真正提高教学效率，教学中教师应重视激发学生的求知欲，让学生感觉数学学习是一件轻松的、有价值的事情，从而激发其学习动机. 当学生对学习产生强烈欲望时，他们会积极思考、主动交流，从而借助已有知识和已有经验去发现新知识、解锁新技能，切身感受数学学习之美. 其实教学的价值并不是指它能教给学生多少本领，而是指它能否唤醒学生的求知欲，能否激发学生的探究动机，能否鼓舞学生的学习斗志.

例3 设双曲线C：x2-=1，是否存在这样的直线l，过点P（1，1），与双曲线相交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？

问题给出后，教师先让学生独立思考，然后组织学生进行小组交流，最终学生给出了如下答案.

生6：设A（x，x），B（x，y），代入双曲线方程有x-=1，x-=1，两式相减得（x-x）-

-

=0，即（x+x）（x-x）=（y+y）（y-y）. 又已知点P（1，1），直线l的斜率k=2，故直线l的方程为y=2x-1. （对生6的解法，学生纷纷点头，表示赞同）

师：运用点差法来求解，确实是一个好思路. 实际上，点A（x，2x-1）代入双曲线方程并整理得2x2-4x+3=0，这个方程是否有解呢？

生齐声答：无解.

师：既然无解，这样的点A是否存在呢？

生齐声答：不存在.

师：课下思考一下，直线l的斜率在什么范围内才能与双曲线有两个交点.

在教师的引导下，学生进行解后验证，发现满足题目条件的直线l并不存在. 通过恰当的引导让学生体验了“验证”在解题中的价值，有利于培养学生解后验证的良好习惯. 求解问题后，教师又继续追问，让学生通过更改条件来寻找满足条件的直线，继而通过点拨和启发激发学生的好奇心和求知欲.

在解题过程中，单一的“就题论题”式的讲解往往难以激发学生的好奇心，教师应以发展学生为教学的出发点，借助一些可以激发学生探究热情的问题诱发学生深度思考，从而在解题的基础上抓住问题的本质，使知识得以融会贯通.

重情感

数学教学既是知识教学，也是情感教学，教学中教师既要应用好学生的好奇心、自尊心、好胜心等内部诱因，也要利用好奖励、激励、竞赛等外部诱因，从而诱发学生主动学习、主动探究、主动创造，让学生带着快乐的情绪、积极的心态去体验数学学习所带来的体验感和成就感. 不过，在现实教学中，学生常感觉数学教学是乏味的、冰冷的，因为在应试教育的束缚下，为了提高成绩，教学大多“以师为中心”，导致学生的积极情感得不到释放，学生的表现自然变得消极，教学效果也不够理想. 为了让课堂更具人情味，教学中教师应“以生为本”，注入情感，做到真正爱学生、爱教学，将数学教学看成一项伟大的事业，而非简单的工作. 学生在这样一个充满爱的课堂上学习，他们一定是积极的，教学一定是高效的.

变式：如图2所示，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且=，当点P在圆x2+y2=4上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 与原题相比，你有什么发现？

当完成以上两个问题的探究后，教师又将例4中的“点M为线段PD的中点”变成“MD=PD”，将圆方程由“x2+y2=4”变成“x2+y2=25”，继而通过变式帮助学生熟练掌握圆锥曲线的简单应用.

例4只要求学生得到轨迹方程，没要求学生说明是什么图形（变式才有这样的要求），这样的梯度变化能激发学生的数学学习信心. 为了深化学生对直线与圆锥曲线位置关系的理解，让学生熟练掌握圆锥曲线的简单应用，教师巧借变式加以强化.

在教学中，教师要充分认识到个体差异，并尊重这种差异，针对不同个体设计不同梯度的问题，对不同学生进行不同比较，从而激发他們学习数学的兴趣，让每个学生都能获得成功的体验，培养其张扬的个性. 以上教学过程充分展现了教师对学生的人文关怀，最大限度地激发了他们的数学潜质，有助于学生的健康成长.

助育人

在唯分论的影响下，部分教师将教学重心都放在学生成绩的提升上，忽视了学生德育的培养，存在“重教书、轻育人”的现象. 在教学中，部分教师普遍认为教好学科知识是重中之重，至于思想教育可以留给班主任、德育老师、家长来完成，在他们的课堂上还是以“教知识”和“教方法”为主，重视“智育”的发展，忽视“德育”的提升，这样使得教学的价值并未真正体现出来，教育的任务也未真正完成.

众所周知，课堂教学是学校教育的重要组成部分，其不仅要服务于“教书”，而且应服务于“育人”，要将学科教学上升至学科教育，关注德育、美学、人文等综合素养的提升，让学生成为既有知识又懂文化的人才.

例5 已知椭圆C的中心在原点，左焦点F的坐标为（-，0），右顶点A（2，0）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求弦长AB的最大值及此时直线l的方程.

问题（1）较为简单，结合已知由a，b，c的关系及焦点的位置，易得椭圆C的方程为+y2=1. 教师先引导学生独立解决问题（1），接下来由基础相对薄弱的学生板演解题过程，借助简单的问题让这部分学生获得成功的体验，激发他们学习数学的积极性. 对于问题（2），教师先预留一定的时间让学生独立思考，接下来与学生一同探究解题思路.

师：由已知可知，直线l的斜率为，根据这个条件你想到了什么？

生7：可设直线l的方程为y=x+b.

师：接下来该如何求解呢？（独立思考后，教师让学优生陈述解题过程）

在教学中，教师先让学生独立解决简单的问题，以此激发学生的解题信心，接下来与学生共同分析，将弦长问题转化为一元二次方程问题，即向熟悉的方向转化，继而利用韦达定理和弦长公式轻松地解决问题. 整个教学过程既有独立思考，又有合作交流，促进学生在最近发展区内不同程度地发展. 整个教学过程自然流畅，连贯有序，不仅让学生找到了解题的方法，而且充分展示了学生的思维过程，促进学生全面和谐地发展.

以上教学过程从“教书”的层面出发，取得了较好的成果，既给了学困生展示的机会，又兼顾了学优生的发展，注重学生学习欲望的激发和学习主动性的培养. 不过，在教学过程中缺少探索和发现的过程，教师应多鼓励学生从不同角度寻找解决问题的方法，进而通过探索使学生的“学”超越知识、超越课堂，让学生的综合素养获得质的提升.

总之，在数学教学中，教师既要关注现成知识和方法的讲授，又要关注学生求知欲的激发，让“学”变成一件快乐的事情. 同时，教师要注入真情实感，打造有“爱”的课堂，让“学”变成一件幸福的事情.

作者简介：赵旭东（1983—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作，曾获海门市数学基本功比赛一等奖、海门市优秀教育工作者等荣誉.