解后反思 变错为宝

［摘  要］ 反思使数学教学活动成了有目标、有思想的数学研究性活动，其极大程度上锻炼了学生的思维，提高了学生的解题能力. 在教学中，教师应为学生提供一定的反思时间和空间，进而在帮助学生夯实基础的同时，拓宽学生的数学视野，提高学生的解题技能，发展学生的学习能力.

［关键词］ 反思；研究性活动；学习能力

在高中数学教学中，经常会出现学生“一错再错”的现象，究其原因，除了基础知识掌握不牢，解题经验不足外，就是没有形成良好的反思习惯. 在高中数学教学中，一些教师为了追求“高速度、大容量”，错题讲评时大多以教师讲授为主，将“标准答案”直接呈现给学生，让学生对比订正. 当然，给出“标准答案”后，教师也会给学生一定的时间思考，但思考的内容大多限于对答案的认识，这样难以体现学生的思维过程，不利于学生解题能力的提升. 要知道，解题能力高低并不是看学生会解多少道题，而是看解题的质量. 要提高解题质量，就需要学生不断反思解题过程，以此总结经验、吸取教训，提高解题效率和准确率. 笔者在错题讲评过程中，改变传统的“对答案”教学模式，引导学生解后反思，找到错因，从而“变错为宝”，有效提高学生的解题能力.

反思审题过程，培养审题习惯

考试后学生经常有这样的感慨：明明这个类型的题目会做，怎么就错了呢？解后反思发现，之所以出错，是因为审题不清，获取信息不全，解题时盲目套用——这一方面反映学生解题时心浮气躁，另一方面反映学生缺乏良好的审题习惯. 在错题讲评中，教师可以引导学生反思审题过程，提醒学生在反思中发现哪些信息采集时出现了遗漏，让学生通过自我修补提升解题信心.

例1 设全集U=｛x

x≥2，x∈N｝，集合A=｛x

x2≥5，x∈N｝，则CUA=____.

对于大多数学生来讲，该题难度不大，按照预期大多数学生能顺利完成，但是考试结果并不如此. 学生的错误答案集中在［2，］，分析错因不难发现，学生解题时没有注意到“x∈N”这一条件，没有认清x的含义. 当然，也有部分学生忘记使用集合符号，给出的错解为2.

例2 复数z=（a<0），其中i为虚数单位，z=，则a的值为____.

本题主要考查的是复数的四则运算，因为z==，z===，所以a2=25. 又a<0，故a=-5. 然部分学生给出的答案为±5或5，可见这部分学生解题时漏看了条件“a<0”，另外有部分学生习惯性地取正.

从以上错解反馈来看，学生的解题思路是正确的，然因信息遗漏而引发了错误，严重影响了学生数学成绩的提升. 要知道，审题是解题的前提，只有正确审题才可能得到正确的答案，因此教学中教师要关注学生审题能力的培养. 基于以上错误，教师可以先让学生自我反思：考试时是如何审题的，获得过哪些信息？遗漏了哪些信息？是什么原因造成信息遗漏的？审题时哪些条件是比较清楚的？哪些条件是不清楚的？不清楚的原因是什么？对于一些较为复杂的题目，除了以上内容外，还要反思：题目中有哪些隐含条件？条件和条件、条件和结论之间存在怎么的关系？这些关系有没有被发现？有没有被合理利用？以后审题时需要什么？等等. 通过反思审题过程不仅可以使学生深层次理解题目，而且可以有效避免信息遗漏，培养学生良好的审题习惯.

反思解题过程，避免思维定式

部分教师为了课堂上能够讲更多的题，在日常教学中常常压缩概念、公式等基础知识的教学时间，使得学生对基本知识或方法的理解不深，甚至理解错误，故常常出现错用或滥用，直接影响了解题准确率. 在教学中，除了教师改变教学手段和教学方法外，还可以引导学生反思，为学生提供重新理解基本知识和方法的时间与空间，以此突破思维定式的束缚，提高解题速度和准确率.

例3 已知θ是第三象限角，且sinθ-2cosθ=-，则sinθ+cosθ=______.

本题是一道基础题，主要考查三角函数的运算. 在平时练习中，学生经常做“sinθ+cosθ”“sinθ-cosθ”“sinθ·cosθ”这样的“知一求二”的问题，部分教师常常引导学生利用整体代换法求解，并强调利用解方程法虽然能够求解，但是运算复杂，久而久之，学生就形成了思维定式，习惯巧解却忽视通法，因此求解例3時苦苦探寻整体代换法，最终无功而返，即使回到了最初的解方程法，得到了准确答案，却浪费了宝贵的解题时间，得不偿失.

其实，在解题过程中，因受思维定式的影响而引发错误的现象有很多. 比如，因思维定式学生不假思索地将同向不等式相加推广至同向不等式相减；又如，计算sin（30°+60°）时，因思维定式学生利用乘法分配律给出了这样的错解：sin（30°+60°）=sin30°+sin60°. 对于以上的类似错误，若学生解题后能够反思所使用的基础知识和基本方法，就很有可能及时发现并纠正错误，以此提高解题速度和准确率.

反思探究过程，确定解题思路

高中数学题目是复杂多变的，大部分题目需要进行探究才能顺利求解，因此探究是高中数学的必经之路. 解题后教师要给学生时间和空间反思探究过程，回顾当时解题是如何重组和再生信息的，如何为已知和结论架桥铺路的. 通过反思重现学生的思维过程，让学生思考：哪个步骤走了弯路？为什么会走弯路？如何避免走弯路？解题时出现了哪些错误？为什么会出错？后面如何进行调整？等等. 这样通过反思探究过程让学生知道哪些思路和方法是需要传承的，哪些是需要改进的，解题中哪部分是成功的，哪部分是失败的，等等. 这样反思有利于学生确定正确的解题思路.

例4 已知ab=，a，b∈（0，1），则+的最小值为______.

本题作为模拟考试中的最后一道填空题，其难度较大，学生的得分率较低. 课后调研发现，有的学生解题时没有找到正确的解题思路，而是根据已知猜测，当a=b=时+取最小值，因此将6填空；有的学生两次利用基本不等式计算，但应用时未考虑两次取等号的条件是否同时成立，因此得到错解3+2.

反思解题过程不难发现，本题求解的关键是消元，即将二元问题转化为一元问题，化简后应用基本不等式求最小值，但要通过配凑使其满足“二定”的条件. 学生之所以没有找到解题突破口，就是缺乏简化思想，使探究变得越来越复杂，最终误入歧途.

对于这些典型问题有必要引导学生进行细致而深入的反思，从而在反思中总结出带有规律的经验，形成完善的解题策略，深化理解元认知，便于学生解题时快速找到突破口，提高解题效率.

反思运算过程，提高数学运算素养

数学运算过程也是一个演绎推理的过程，数学运算是每一个高中生都应具备的基本技能. 解题时可以发现，几乎所有的解题过程都会涉及具体运算，因此若学生的运算能力不强，不仅会影响解题效率，而且可能导致错误. 为了提高学生的运算能力，除了必要的练习外，教师还要引导学生对运算过程进行反思：在运算过程中应用运算技巧是否有必要？运算过程是否可以进一步优化？这样反思可以将运算技巧“模块化”，有利于提高学生的运算能力.

例5 如图1所示，已知椭圆O：+y2=1的右焦点为F，点B，C分别为椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y=-2上的一个动点（与y轴的交点除外），直线PC交椭圆于另一点M.

（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积.

（2）记直线BM，BP的斜率分别为k，k，①求证：k·k为定值；②求·的取值范围.

例5的难度并不在解题思路上，而是运算. 从试卷反馈来看，大多数学生能顺利完成问题（1）的求解. 问题（1）虽然也涉及运算，但是具体值的运算，是学生擅长的，故大多数学生能够轻松求解. 问题（2）为含参运算，很多学生因运算能力不过关，最终没有算到最后. 对于问题（2）主要有两类解法，一类是设点，另一类是设斜率. 其中设点又分两种：①设点P（m，-2），m≠0，求出点M的坐标，这样即可得到两个目标函数，然后研究定值和取值范围；②设点M（x，y），x≠0，求出点P的坐标，由此易得两个目标函数，将目标函数消元后得到关于x（或y）的函数式，最后求得定值和取值范围. 设斜率共分三种：①设直线PM：y=kx-1；②设直线BM：y=kx+1；③设直线PB：y=kx+1. （解题过程略）

从本题的解答过程可以看出，本题大体涉及以下运算：求两直线的交点；求直线与椭圆的交点；消元；由两点表示斜率；研究y=x-型函数的单调性；向量的数量积运算. 这里通过反思可以让学生知晓自己哪方面的运算还比较薄弱，然后利用针对性训练提升运算能力.

其实，很多学生之所以解题时突然运算中断，就是因为其运算能力薄弱，尤其面对一些含参运算时表现得突出. 反思解题过程中的运算，不仅为学生进行针对性训练提供了方向，而且有利于学生选择一条最适合自己的解题之路，将问题解决到底.

反思拓展延伸，优化认知结构

解决同一问题往往有多种方法，因此解题后经常要思考：该题是否还有其他解法？不同解法间有什么联系？以前是否遇到过相似的问题？以前的解法是否适用该题？该题的方法、结论能否解决之前类似的问题？等等. 这样思考可以将一些相似或相关的内容串联起来，有利于优化学生认知，丰富学生的解题经验，拓展学生的数学思维，提升学生的解题能力.

例6 图2为一个半圆柱的水渠，图3为其横断面，点C为半圆弧ACB的中点，渠宽2 m.

（1）若渠中水深CD为0.4 m，求水面的宽.

（2）現将水渠进行改造，使其横断面成为等腰梯形，要求：①不准填土；②水渠底面与地面平行. 改造后底宽为何值时，所挖出的土量最少？

本题难度适中，焦点在水渠的改造上，解法灵活，教师可以鼓励学生求解后进行反思，从而借助一题多解，发散学生的思维，提高学生的应变能力.

由以上解答思路不难发现，学生对切线方程求解有不同的认知，所以呈现出了不同解法. 在试题讲评过程中，如果能够对这些解法进行细致分析并分析到底，可以达到丰富学生解题经验，发散学生思维的效果. 另外，通过对比分析不难发现，思路1到思路3虽然出发点不同，但是存在一定的一致性，即都引入了两个变量，并根据相切得到了关于两个变量的等式，将该等式引入目标函数消元，从而实现了简化；对于思路4，其引入角作变量，这一巧妙的设法大大降低了运算量，思路灵活. 这样思考不同解法的本质，更易于学生发现规律，使学生既总结了方法，又锻炼了思维.

总之，在日常教学中，教师切勿盲目地让学生“刷题”，应为学生提供反思的时间和空间，通过反思总结知识、方法、经验，帮助学生将其内化为能力. 另外，通过反思能有效地将学生从“题海”中解放出来，通过再认识、再发现、再创造，让学生学会数学思考、学会数学学习.

作者简介：陈玲（1984—），硕士研究生，中学一级教师，从事高中数学教学工作.