基于一道高考题的高三数学复习设计

华佳

摘要：新高考试题发生了很大的变化，数学教学也跟着发生变化.新高考更注重对学生素养的考查，引导学生抓住关键因素，善于发现事物的本质、关鍵和规律.本文以2022年高考三角函数问题为例，探讨如何培养学生数学运算求解能力、数学推理论证能力和数据分析能力.

关键词：新高考；三角函数；课堂教学

2022年全国高考数学一卷解答题第18题三角函数试题渗透了新课程的理念.很多学生觉得该题很难，其实这题考查了学生对三角函数基础知识和技能的掌握，着重考查学生的思维能力和数学素养，指引着我们正确的教学导向，若学生掌握这些知识并拥有这些能力，便能迎刃而解.

1真题展示

设△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1） 若C=2π3，求B;

（2） 求a2+b2c2的最小值.

试题表述简洁明了，有两道小题，由浅入深.试题主要考查了三角函数中的二倍角公式、诱导公式、两角和与差公式，简单的三角恒等变换、同角三角函数关系、正弦定理、余弦定理重要的基础知识.此外考查学生对三角基本概念和公式的灵活运用，考查学生的运算、转化与化归、逆向思维等能力.

对于第（1）题，由于式子比较容易变形，学生比较容易做出来.方法1：先用二倍角公式化简cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B，因为B∈0，π3，易得sinB=cos（A+B）=-cosC=12，即可得出角B=π6.方法2：先对角相乘cosA+cosAcos2B=sin2B+sin2BsinA，移项可得cosA-sin2B+cos（A+2B）=0，因为已知的是角C，要求的是角A，所以显然是把角A用角B、C来表示，得出-cos（B+C）-sin2B+cos（π-C+B）=0，然后两角和的余弦公式、二倍角公式、诱导公式化简得出-2cosB（sinB+cosC）=0，即可得出sinB=-cosC.

2障碍分析

障碍一：学生看到a2+b2，就很容易联想到余弦定理a2+b2=c2+2abcosC，得a2+b2c2=1+2abcosCc2，然后边化角得1-2sinAsin2Bsin2C，但无法继续做下去.因为题目没有直接揭示A、B、C间的关系，由第一题得出的sinB=-cosC这个重要结论可知角B和C的关系，这个是本题的突破口.

障碍二：运用正弦定理边化角a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C，要想往下做也是和障碍一一样找A、B、C间的关系.

障碍三：学生想到第一题结论的运用，把sinB=-cosC平方得cos2C=sin2B=1-cos2B，联想到余弦定理a2+b2-c22ab2+a2+c2-b22ac2=1，运算量很大，不易解出来.

3障碍解除

障碍一和障碍二化简后的式子相当于有三个变量，要求函数的最小值就是要去消元，即去找角A、B、C间的关系.而如何去找呢？需要抓住第一题得出sinB=-cosC的这个结论.在三角形中sinB=-cosC=sinC-π2，这里得出角C是钝角，所以角B、C-π2都属于0，π2，又因为y=sinx在0，π2上是单调递增的，所以得出B=C-π2，这是本题的突破口.

在三角形ABC中，有一些很重要的结论：若A+B=π2，则有cosA=sinB；反之若sinB=cosA，则有A+B=π2.利用逆向思维，由sinB=-cosC可以得出一些结论？由于sinB=-cosC=cos（π-C），因为是在三角形中，可以得到B+π-C=π2，所以得到C=π2+B.此时找到了角A、B、C间的关系，第二题就迎刃而解.

障碍一解法：因为B=C-π2，这里把角A、B都用角C表示，尽量使分母简洁A=π-B-C=3π2-2C，所以a2+b2c2=1+2abcosCc2=1-2sinAsin2Bsin2C=1+2sin3π2-2CsinC-π2cosCsin2C=1+2cos2Ccos2Csin2C=1+2（1-2sin2C）（1-sin2C）sin2C=-5+2sin2C+4sin2C≥-5+42，当且仅当2sin2C=4sin2C，即当sin2C=22取到最小值.

障碍二解法：因为B=C-π2，这里把角A、B都用角C表示，尽量使分母简洁.a2+b2C2=sin2A+sin2Bsin2C=sin23π2-2C+sin2C-π2sin2C，最后化简和上面的解法一样.当然，这里只要消元用角B、C表示也可以.

4教学启示

高考数学从江苏卷到全国卷，三角函数这个知识点考查有重大的变化，以前江苏卷的三角函数题基本上放在解答题的第一题或者第二题的位置，学生很快能做出来，大部分可以得满分，或者因为解题规范扣很少的分数.现在，全国卷将试题放在解答题位置的第二题，与江苏卷相比难度有所提升，学生得分明显下降.三角函数一直是高考卷的得分重头，我们老师可以在以下几个方面帮助学生学好三角函数.

4.1立足课本内容，夯实基础知识

三角是高考考查的重点.三角函数这一章中出现大量的三角公式，这是该章的基本知识点，也是高考考查的重点，这些公式有紧密的联系.和差角公式具有一般的意义，诱导公式、倍角公式等都可以看作它的特例.学习时要充分利用这种联系，避免对公式的死记硬背.这类题目不难，主要考查学生对三角基础知识、基本技能的掌握程度.只有让学生熟练掌握三角公式和对公式的转化，形成牢固的知识根基，才能使学生思维能力和解题能力有进一步的提升.

例1（数学必修第二册第48页）在△ABC中，已知cosA=45，B=π3，b=3，求ac.

思路分析1：已知两角和一邊，求另外两边，有的同学想到用两次余弦定理：cosA=b2+c2-a22bc=3+c2-a223c=45，cosB=a2+c2-b22ac=12，进行联立，发现方程组不容易解出来.

思路分析2：看到b和B即对角和对边，想到用正弦定理asinA=bsinB，得出a=65是关键点，接下来已知两角和两角对应的边，要把另外一边求出来，学生继续想到用正弦定理，需要把sinC求出.根据三角形内角和C=23π-A，所以sinC=sin23π-A，求出sinC=43+310，再由正弦定理csinC=bsinB，得出c=43+35.

思路分析3：由正弦定理得出a=65，学生利用余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，都可以化成关于c的一元二次方程25c2-403c+39=0，从而求出c.

素养回顾：本题是数学必修第二册第48页上的一道题，考查了解三角形中正余弦定理的灵活运用和两角差的正弦公式.在解三角形中，已知两边和它们的夹角或者已知三边，利用余弦定理较为方便.已知两角和任一边或者两边和其中一边的对角，则利用正弦定理较为合适.这题思路3较为简洁.高考中解三角形经常与三角函数的公式结合在一起进行考查，这就要求学生牢固掌握每个知识，灵活运用并选择最合适的方法进行求解.引导学生在解题过程中如何选择公式，如何根据条件进行变形，提高学生的推理能力和数学运算能力.

4.2把握高考方向，培养学生运算能力

三角函数这一章要求学生能够了解同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、二倍角公式等运算特点，正确进行运算；能够根据式中角和函数名的特征，选择运算方法，设计运算程序，进行合理的三角恒等变换来解决问题.

例2已知cosα+π4=35，π2≤α≤3π2，求cos2α+π4的值.

思路1：看到两角和的余弦，想到展开得cosα-sinα=325，然后平方得1-2sinαcosα=1825，即sin2α=725.有的同学做到这感觉已经快做出来了，用同角三角函数平方和关系把sin2α求出来就行了，发现这里π2≤α≤3π2，则π≤2α≤3π，由这个范围正负没办法确定，还要回过去计算并缩小α的范围.因为π2≤α≤3π2，所以3π4≤α+π4≤7π4，又因为cosα+π4＞0，所以角α+π4可以缩小到3π2≤α+π4≤7π4，进一步将角α缩小到5π4≤α≤3π2，即5π2≤2α≤3π，角2α在第二象限，所以cos2α取负的，问题就迎刃而解了.

思路2：看到求cos2α+π4的值，用两角和的余弦展开，则只要求sin2α、cos2α即可.要产生二倍角则需要对已知条件用二倍角公式，即cos2α+π2=2cos2α+π4-1=-sin2α=-725，然后求cos2α，和思路1步骤一样.

思路3：求cos2α，也可以把cosα求出来，通过角的变换cosα=cosα+π4-π4=22cosα+π4+sinα+π4，sinα+π4由同角三角函数求出，但是正负号也要通过前文中缩小角的范围的分析来判断.

思路4：这里的cos2α还可以通过sin2α+π2=2sinα+π4cosα+π4进行求解.

素养回顾：三角函数公式较多，所以一道题有很多条思路，但是不管是先对条件展开还是由求二倍角，或者从结论展开，知道要从条件得出结论，都要进行计算.这里要求学生熟练运用两角和差公式、二倍角公式、同角三角函数关系式、诱导公式来进行计算，同时还要注重角的范围的计算来决定正负.所以我们要进行有效的三角训练，提高正确率，培养学生的运算素养能力.

4.3重视思考过程

三角高考题要求学生灵活运用三角公式，主动思考，找问题的突破口.西方一位教育家曾说过：“教学，重要的是倾听学生的想法；学习，重要的是说出自己的思路.”这就说明学习数学注重学生的深度思考过程.数学的学习不只是听老师传授，也不是进行题海战术，而是重在学习数学的思维方法，提升思维能力.学生用数学思维去分析问题和解决问题，通过对问题的研究与思考，提高学生的数学能力和素养.

4.4注重知识整合

高考数学命题确实是“以能力立意”，命题者经过深思熟虑的研究所得，经常在知识交汇处设计命题.而这些综合性的问题，就是源于课本的基本知识和基本问题.学生越注重对知识的整合，认识结构越完善，数学学习的效果就越好.三角的公式比较多，教师在教学中以问题或题目导入，引导学生由浅入深，由点到面找这些公式间的联系，构建数学知识体系框架，完善数学认知结构.解题中寻找知识内部联系，把握问题的本质，从而探索到解决问题的高效方法.新课程标准强调知识的发生、发展过程，这个就是寻找知识间逻辑联系和把握知识本质的过程.现在高考更加强调考查知识的综合性，对同一层面的知识、方法、技能，能够融会贯通，形成完整的知识体系；对不同层面的知识、方法、技能，能够紧密联系，找到内在的逻辑联系.

参考文献：

［1］ 王思俭.怎样学会数学思考［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2019.

［2］ 王思俭.高考数学试题从哪儿来［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2018.

［3］ 教育部考试中心.中国高考评价体系［M］.北京：人民教育出版社，2019.