基于“直观的懂”的数学教学路径

朱继明

【摘 要】本文以问题教学为载体，展现直观学习的心理过程和操作路径，包括在“画数学”中建立概念直观，在“量数学”中产生图式直观，在“算数学”中形成命题直观。以“直观的懂”的方式教数学，有助于学生数学信念的发展和数学学习焦虑的缓解，进而促进数学理解。

【关键词】概念直观；图式直观；命题直观；数学学习

“直观的懂”（徐利治语）是人类认识事物的重要方式，亦如抽象，不可或缺。在数学学习论范畴，“直观”是未经充分的逻辑推理而对事物本质的直接洞察与把握。《义务教育数学课程标准（2022年版）》把“几何直观”列为数学核心素养之一，《普通高中数学课程标准（2017年版2022年修订）》把“直观想象”界定为数学六大核心素养之一。因此，研究直观的教、直观的学、“直观的懂”意义重大，价值深远。

一、在“画数学”中，建立概念直观

概念揭示经验的内在联系，是思维的基本单位［1］。概念是符号化的数学，具有抽象性、层次性、一般性，是对同类事物或相似事物进行反复抽象的结果，不易理解、不易把握。概念需要借助“直观的懂”，才能将抽象转化为直观，将一般转化为具体，将不理解转化为能理解。例如，“点动成线、线动成面、面动成体”就是“直观的懂”的思维产物，是通过揭示经验的内在联系来理解概念的好例子，是概念直观的思维产物，具有一般性。

一般情况下，在数学学习论范畴，概念直观是起于经验、成于抽象、终于符号的目标过程。认知心理学把概念直观界定为借助事物的直观形象、外在表象、社会现象，揭示具有共同属性的一类事物的本质特征或内在意义的心理过程。数学学习过程中的画出数学、作出数学、操作数学都是概念直观的思考路径，是学生借助概念直观理解概念抽象的有效路径。具体地说，用直角三角板画垂线，用直尺和三角板画平行线，用量角器画角的平分线等，都是通过画数学、画概念来建立概念直观的例子。

当然，概念直观带有强烈的经验性特征，而经验的组织性是知觉选择、知觉登记与知觉概括的结果，往往具有感性思维色彩和一定层面的不确定性甚至是错误。就这一认识来说，概念直观作用下的经验是有非正确、非准确、非精确的非理性成分的，需要经历思维层面的去粗取精、去伪存真的理性加工过程，经历证实、证伪的目标过程，才能确保概念直观的理性化、一般化、符号化，进而获得概念，保持概念，迁移应用概念。

为此，在画数学中建立概念直观需要关注以下几个方面的问题，方能将画数学转化为符号数学，将概念的抽象性转化为概念直观（直观的懂），将概念的经验性转化为概念的本质属性，将概念的概念性转化为概念的教育性，进而让学生理解、把握概念的本质。

第一，通过画图建立概念表象的直观性。教师可以针对图1提出以下几个问题：（1）生活中有哪些常见的曲线图形？（树叶、摩天轮、圆锥等物体存在曲线）（2）除了用圆规可以画出曲线，还可以用哪些工具画出曲线？（系线的钉子可以画圆，捆在一起的两支笔也可以画出圆或扇形，人的两条腿可以画出大致的圆。）（3）你能用直尺画出曲线吗？（4）观察，说说图1是如何被画出来的。（5）模仿画出图1的4个层次图。这样，让学生在动手画、动手操作中建立概念表象，形成概念直观的理解的认知心理状态，有助于概念的获得。

第二，通过连图建立概念直觀的理性经验。连图作为概念，是一系列“连接A、B”的直观操作；而连图作为方法产生式，则是将“连接”动作上升为通图通法通性。就这一认识来说，概念是基于经验的，而经验是概念直观作用的产物，具有非理性色彩，需要证实方能将感性经验理性化，进而调用、转化和迁移。例如，将图1（b）作为样例，让学生在模仿学习、观察学习中概括“怎样连点”的方法，即概括出“连接点（1，0）与（0，6）”等通法，进而调用通法作出类似的图形。这样模仿、再造的过程就是迁移，是经验感性调节为经验理性的存储、输出的就绪状态。

第三，通过证伪剔除概念的非本质属性。数学概念需要证实，更需要证伪，方能剔除概念的非本质属性，进而理解把握概念的本质。例如，针对图1问题的提出、操作、概括和模仿，学生获得的理性经验是初级的、粗糙的，教师还需要提供证伪的操作活动，方能使得理性经验进入应用、转化和迁移的状态，产生概念的教育性作用。为此，可以提出以下问题：（1）分别画出将图1（b）沿横轴、纵轴翻折后的图形；（2）画出将图1（b）沿两轴交点旋转180°后的图形；（3）观察、对比各个图形，你发现了什么？经历这样的证伪过程（澄清旋转与翻折的关系），学生不仅理解了概念本质，而且形成了曲线图的构造方法，为后续图形变换铺设心理基础，这就是概念直观的本体。

二、在“量数学”中，产生图式直观

希尔伯特在《几何基础》第一版的扉页引用康德的话：人类的一切知识都是从直观开始的，从那里进到概念，而以理念结束。［2］“量数学”是人类认识事物的思维起点，是数学直观的表现形式、操作方式，是对数学活动论的坚守与敬畏。苏科版义务教育数学教科书设置了“动手做”“探索与实践”“评价与反思”“量一量”“测一测”“算一算”“数学活动”“数学实验室”等活动栏目，力图让学生在操作、度量、估算中建立图式直观，建立图式产生式体系。例如，π是一个无理数，是一个常量，是一个定值，是古代数学家无数次测量马车车轮的周长与直径的结果后概括出的一般化结论，即车轮的周长与直径的比值是个定值，并用希腊字母π来表示这个定值。这是“量数学”的一个价值表现，为无理数的研究提供了直观基础。

当然，数学一直是直观与逻辑的混合物，数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于推理［3］。概念、公式、法则、定理等数学原理都是起于直观，成于抽象和推理的。例如，三角形内角和定理是通过“度量→剪角→拼角”等直观方式获得的，而对该定理的正确理解与把握则是通过证明推理的方式建立的，即通过添加平行线这一辅助思维，构造出平角或同旁内角互补的状态，进而转化为“三角形的内角和为180°”的目标过程。这就是直观与逻辑混合理解的加工状态。

通常，信息加工学将数学知识划分为陈述性知识（如三角形的内角和等于180°）、程序性知识（如数学证明是用“因→果→由因得果的理由”三段论方式呈现）和条件性知识（如含有平行线因素、角平分线因素的图形中必有等腰三角形存在），图式则是对陈述性知识做出综合表征，源于直观，终于推理。图式是知识单元，是一种数学结构，可以是定理、公式、规则等数学原理，也可以是基本事实。图式获得是数学知识理解的本质［4］，数学图式有概括性、层次性，是以数学原理加以组织联系的，既反映对象的本质，也含有非本质特征。为此，在量数学的目标过程中，需要关注以下问题层次，方能建立正确的图式直观，形成“直观的懂”的正确问题空间，进而理解概念、理解数学、学好数学。

第一，度量估算概括数学，获得直观理解的图式。例如，根据图2提出以下问题：（1）如果图2中每个小方格的边长是1厘米，则左边图形的周长和面积分别是多少？（2）度量估算出右边图形的周长；（3）观察比较，你能发现左右两个图形的周长有怎样的数量关系吗？面积有怎样的数量关系？这样量数学，让学生在度量、估算、猜想中形成直观理解的图式，能为图形运动提供理解基础，为正确问题空间的建立存储经验。

第二，平移变换表征数学，建立逻辑理念的图式。由量数学建立的图式直观具有初级性、粗糙性、短时记忆性和瞬时理解性，容易出现理解偏差。为此，必须经历图形运动、图形变换、图形割补，建立数学原理层面的逻辑图式，学生才能将直观转化为图式，将概念转化为方法，将经验转化为思想。针对图2还需要提出以下问题：（1）经验层面。如何平移图2中右图的某些线段，使其转化为规则图形。（2）理念层面。你能用割补法计算图2中右图的面积吗？（3）逻辑层面。计算图2中左右两个图形面积的差，你发现了什么？这样平移变换表征数学，有助于学生形成逻辑理念的图式，有助于图式直观产生式体系的建立。

第三，模仿构造变式数学，促进图式应用产生式生成。任何数学知识的产生都是起于直观，成于变式，终于应用的。图式作为知识关系的一种表达方式、架构方式，需要构造、变式，更需要应用，方能形成稳定的知识结构及知识关系，进而促进“直观的懂”的数学能力的进一步发展。为此，针对图2还需要解决以下问题：（1）请设计一个类似的问题，使得不规则图形可以转化为规则图形；（2）你设计的问题与图2有哪些相同与不同之处？（3）你是如何计算出不规则图形的周长与面积的？以变式构造问题，可以让学生在变式应用中感知问题解决的方法，从而深度理解概念，促进图式产生式生成。这就是将“直观的懂”转化为图式理念、应用观念，进而学好数学。

三、在“算数学”中，形成命题直观

“算数学”是数学发展的生命。知名数学家丘成桐教授就是通过算数学的思维方式，用三年多时间得出“卡拉比—丘”定理的。概念、图式、命题都是陈述性知识的表征方式，是以算数学为逻辑纽带的。数学上的完全平方公式、平方差公式就是通过算面积的方式算出来的，皮克定理（数格点→算面积）也是算数学的产物。

数学史上，公理与逻辑只是搭建了数学的骨架，但直观给了它生命［5］。命题是用“如果，那么”（if/then）的方式来刻画的，命题来源于直观基础之上的抽象，来源于算数学。例如，国标A型纸的长与宽的比值为定值无理数，即以短边为边折正方形，正方形的对角线与长边一样长，由此得出A型纸长边与短边的比值为[2]的数学结论。数学逻辑学把判断一个事件的句子叫作命题（如两点确定一条直线等）。命题是数学抽象的产物，需要运算、推理证明其正确性，方能将命题转化为定理，进而成为数学与应用数学的逻辑证据。为此，在算数学中形成命题直观需要做好以下工作，方能将抽象转化为直观，将算数学转化为逻辑命题。

第一，输入编码，将问题转化为直观，知道概念性命题是什么样子。信息加工学认为编码就是用各种方式把信息组织起来，信息是以编码的方式存储在长时记忆系统的［6］，概念是以命题的方式进入工作记忆系统的。数学史上“七桥问题”的解决就是通过输入编码的方式，将问题转化为“直观的懂”。具体地说，欧拉将哥尼斯堡的四块陆地抽象为四个点，将七座桥抽象为七条线，这样就将“七桥问题”转化为“一笔画”问题。这就是将问题（命题）转化为直观，将难以解决的问题转化为直观地看出、直观地画出、直观地懂。当然，这里还必须指出，输入编码的过程是产生刺激冲动的过程，即如何将“七桥问题”转化为直观地看（抽象加工）；编码加工的过程是将信息转化为概念性命题（如果……，那么……），即能否一笔画出的问题。

第二，符号加工，将直观转化为抽象，理解概念性命题为什么是这样。在信息加工学范畴，符号加工是运用联想思维从信息中推导出以符号陈述的行动指令（概念即命题）。教材中设置的“剪绳子”问题就是通过符号加工，将直观转化为抽象的一个好例子。具体地说，就是将一根绳子对折n次，从中间剪一刀，绳子变成多少段的问题。这里的剪绳子是一种直观操作，在非完全归纳法的参与下，用代数式表示绳子的段数（2n+1）就是符号抽象的陈述形态。至此不难理解代数简明的意义，这也是代数概念（概念性命题）具有一般性、普适性的一个例子。

第三，译码输出，将命题直观转化为算理算法，揭示概念关系是怎么样的。心理学理论认为，命题或规则一般由若干概念組成，揭示了几个概念之间的关系和某种规律。图3就是反映概念关系的一个例子，揭示译码输出的过程，即把命题直观转化为算法算理的过程。这里，译码是符号指令转化为神经冲动的过程，输出则是神经冲动作用于外部世界。具体地说，先让学生在观图的基础上，给出可能的问题空间；接着在交流反思的基础上给出有意义的问题（即图中正方形的边长为10，四个等圆的半径均为3，且正方形的四个顶点恰好都落在圆心上，问花坛的面积是多少）；最后通过译码输出的方式，将命题上升为算法并揭示概念关系（3个等圆面积加上正方形面积等于花坛面积）。如果说学生提出问题是译码输出，那么选择有意义的问题是命题直观上升为算法的过程，则面积关系的揭示是回答外部世界是怎么样的问题。这样，学生既获得了知识，又获得了方法，还获得了能力。这就是算数学的产物，是形成命题直观的心理基础。

当然，在学生的形象思维大于抽象思维的条件下，“直观的懂”不止于画数学、量数学和算数学，更在于建立概念直观、产生图式直观和形成命题直观，从而将经验转化为方法，将知识转化为能力，将认知意志转化为数学信念，这就是“直观的懂”数学的本体论。

参考文献：

［1］曹才翰，章建跃.数学教育心理学［M］. 3版.北京：北京师范大学出版社，2014：107.

［2］史宁中.数学基本思想与教学［M］.北京：商务印书馆，2018：139.

［3］吴增生.数学抽象的认知与脑机制［J］.数学教育学报，2018（4）：68-75.

［4］钟熠，谢圣英.基于不同认知负荷任务的学生心理折叠水平研究［J］.数学教育学报，2020（3）：25-31.

［5］徐柱柱.初中生数学直观素养的实证研究与启示：基于湖南Z市八年级的数学学业监测［J］.教育测量与评价，2019（12）：26-33.

［6］教育部人事司，教育部考试中心. 教育心理学考试大纲［M］.北京：北京师范大学出版社，2002：42.

（责任编辑：潘安）