基于学情的数学起始课教学微探

董玉武

［摘  要］ 教学是以学生为主体，以教师为主导进行知识探究的过程. 教师要基于学情，依据课标和教学内容进行合理的教学设计，引导学生主动探究，使其体会知识的发生过程，在探究中感受数学的魅力. 数学单元起始课是知识模块的开端，对于激发学生的兴趣和对新的模块知识的探究欲望具有重要作用.在教学中，教师要注意联系实际，以学生已有知识和经验为出发点，帮助学生建構知识体系，提高教学实效性.

［关键词］ 学情；起始课；知识；经验

课堂教学中常常会出现一些预设以外的情况，如一位教师讲授平面向量的单元起始课时，向学生提问应该如何用符号表示向量，学生的答案是平面直角坐标系；又如一位教师让学生在黑板上书写向量“ ”的相反向量，学生的答案是“  ”，基于学生的理解这个答案是合理的. 这样的教学过程引起了笔者思考：为什么在教学过程中会出现这种现象？学生为什么会有这种答案呢？是学生认知的问题还是教学设计的问题？向量这一知识究竟是怎样发展而来的？作为平面向量的单元起始课教师应该如何引入？这些问题都是教学设计的线索，笔者收集了相关资料后，结合教学内容设计教学方案，现与各位同行交流.

认识教学中的“三个理解”

教师要基于“三个理解”进行教学设计，即在理解数学、学生和教学的基础上，深入研究教学内容，合理建构教学过程，推进教学目标的落实.

首先，教师要理解数学的内涵：究竟什么是数学？数学活动始终围绕着数学思维而展开，数学研究的范围可以扩大或缩小，但是研究的内容从不同角度能形成对数学不同的认识. 从微观角度来看，数学是指知识中蕴含的思想方法，其围绕的核心始终是问题. 教师需要通过创设情境并以问题为载体，带领学生去发现知识，感受知识的生成过程，构建数学认知体系［1］. 对于平面向量单元起始课的内容，教师需要明晰平面向量的生成过程、发展作用和探究意义，在创设的情境中通过环环相扣的问题带领学生拨云见日，逐层探究，了解平面向量的学习价值和目标.在学生理解向量性质的基础上，建构本章的知识体系，掌握研究平面向量的思想方法，培养学生的数学想象能力和数学运算能力.

其次，基于学情理解学生，从教师的专业角度厘清学科内和学科间的主要内容，了解学生已有的知识和经验，明晰学生发展的要求和知识的生长点，从学生的成长需要和认知特点出发，在教学中做到有的放矢、目标明确. 平面向量的知识内容有两个方面可以延伸：一是跨学科的有关矢量的知识，二是学科内有关实数的运算内容. 学生在学习过程中可能出现三个方面的困难：一是关于矢量的知识已经出现在物理学科中，为什么数学学科还要研究向量？二是两者的区别是什么？三是如何理解向量的“二重性”？通过对以上问题的思考，笔者立足在史料中寻找相关素材，通过向量定义的生成，结合教材及章节引言创设情境：将抽象的向量概念辅以丰富的历史和现实情境，创设螺旋上升的教学场景，为枯燥的数学概念增添趣味性和生动性，使教学内容既有思想又有生命，从而最大限度地调动学生的学习积极性.

最后，明确教学的意义.教师的主要作用在于对学生的学习方向、学习过程、学习思路进行引导，当学生遇到学习障碍时能及时予以关注，因势利导，帮助学生克服困难、突破障碍，继续前行. 学生在学习过程中要充分发挥主观能动性，主动发展、主动学习，从而学会学习. 教学过程中的关键是处理好教师与学生之间的关系，教师要把握好引导程度，学生则要充分发挥积极性. 为此教学设计要高屋建瓴，注重教学目标、教学过程和教学评价的统一. 在平面向量单元起始课的教学设计中，教师要以引导学生乐于学习为目标，整合素材创设情境；以问题设计为载体，注重思想性和层次性；以育人目标的落实为己任，构建和谐民主的课堂，促进师生共同成长.

平面向量单元起始课的教学设计

1. 创设情境——信中交流引新量

1672年身为外交官的莱布尼茨出访巴黎时受到当时数学家惠更斯的启发决心放弃政治转而研究数学，他常与惠更斯在信中讨论数学问题. 他提到对于代数和几何不满意的在于代数还没有建立简洁的方法，几何还没有最优美的结构［2］. 莱布尼茨提出这一说法的理由是几何是否可以像代数一样进行数量的表达，而不只是线性的表达. 可以像用代数表达数和量一样，几何也可以用来表示图形或运动.

师：莱布尼茨提出的对于几何设想的特点是什么？体现了几何的什么功能？

总结：这种设想强调的是简洁的方法和优美的结构，几何的功能是更加直接地表达它的位置.

师：几何的这种应用方式就是我们今天将要学习的平面向量. （进入新课）

设计意图 通过数学故事创设情境，以著名数学家莱布尼茨的探究经历使学生感受数学家们刻苦钻研的精神以及开拓创新的品质，点燃学生的学习热情. 这样的设计可以丰富课堂的内涵，使学生不仅了解数学文化，也对将要学习的新知产生浓厚的兴趣. 以问题揭示平面向量的本质和功能就是用简洁的方法表达图形运动和处理几何问题.

2. 情境再现——逐步探索现概念

情境1-1：一艘小船从A地向东南方向航行15海里到达B地，小船航行的速度为每小时10海里. 请问如果改变条件，仅仅指出小船从A地航行15海里到达B地，不说明小船航行的方向，小船还能到达B地吗？若将“从A地”这一条件去掉，改为“小船向东南方向航行15海里”，那么小船还能到达B地吗？

总结：引导学生理解小船在行驶中若缺少航行方向，只有航行起点和行驶距离，是不能到达指定地点的；同样，若小船缺少航行起点，只有行驶距离和航行方向，也不能到达指定地点.

情境1-2：在投掷标枪时，某运动员其中一次出手角度为θ等于43.242°，出手的速率v为每秒28.35米，思考一下该运动员每次投掷标枪的出手速度和哪些因素有关.

总结：引导学生理解标枪投掷时的出手速率大小与出手时的角度有关系.

情境1-3：一辆汽车沿斜坡上行，斜坡的倾斜角为θ，汽车的牵引力为F，从物理的角度来看，力的作用效果的要素有哪些？

总结：回顾物理学科中有关力的知识，知道力的作用点、力的大小和方向与力的作用效果有关.

师：根据以上三个场景思考，这些场景中的位移、速度和力等量具有哪些共同点？

总结：这几个量都是矢量，他们都是具有大小、方向和位置的量，亚里士多德最早提出力可以称为向量，这是向量定义的起源.

设计意图 通过收集教材和生活中的素材，充分利用史料内容，结合数学文化史，创设情境，在学生的最近发展区内进行开发，使学生不仅能了解向量产生的跨学科背景，还能提升学生的抽象数学素养［3］.

情境2：学习几何中的线段时，我们往往只关注线段的长度，而忽视了线段端点的秩序性，如线段AB和线段BA表示的是同一线段，但如果用线段表示运动的轨迹，那么表示从A点向B点运动和从B点向A点运动的轨迹时，线段AB和线段BA的意义一样吗？

总结：理解线段在表示方向时端点顺序代表的方向是不一样的，这里的线段与三角函数中的有向线段一致.

师：请问哪些要素构成了有向线段.

总结：有向线段包括大小、起点、方向和终点四个要素.

设计意图 带领学生了解有向线段的起源，从而知道有向线段的几何意义，为接下来学习向量的表示做好铺垫.

师：以上情境中的矢量和有向线段具有哪些共同点？

总结：矢量和有向线段既有大小又有方向，那么在数学中我们将既有大小又有方向的量称为向量.

设计意图 在丰富的生活情境中，学生理解向量的定义水到渠成，并能够初步区分矢量、向量以及有向线段之间的区别与联系.

3. 问题推导——研究符号表示法

师：现在新的量已经出现了，面对这个新的知识，我们应该先研究什么呢？

生1：需要先研究如何表示向量.

师：很好. 我们是如何表示力的？能不能用这种方式来表示向量呢？

总结：在研究中渗透知识的迁移思想，通过有向线段表示力大家已经知道，那么向量能否采用同样的方法来表示呢？英国科学家牛顿最早提出了用有向线段表示向量的方法，这就告诉大家研究向量首先需要搞清楚有关有向线段的知识.

情境3：如果从A点向B点延伸的有向线段记为“↑（AB）”，那么请同学们思考以下问题.

问题1：有向线段“↑（AB）”的平移需要具备哪些条件？有哪几种平移的方法？

总结：平移有不同的距离和方向，因此有无数种可能.

问题2：在平移有向线段“↑（AB）”的过程中，线段上每一点平移后的距離都相等吗？

总结：理解线段是由点构成的，线段平移也是由点的平移引起的，所以每一点平移后的距离都是相等的，而平移只和移动的方向和距离有关.

问题3：请大家阅读教材思考，在课本上你能否找出有向线段其他的符号表示形式？

总结：数学家哈密顿和吉布斯等人提出用小写的希腊字母来表示向量，后来在小写字母的上方加上箭头表示方向，印刷流行以后，又采用黑体小写字母来表示向量.

设计意图 情境3通过一系列问题引出向量的符号表示形式，激发学生创新向量的符号表示，培养学生的创新意识；再借助教材进一步了解数学文化史，感受数学家们在发现知识过程中的艰辛，体会用符号表示向量的重要性.

4. 深度辨析——区分矢量和向量

师：我们在物理学科中学习过矢量的定义，你觉得矢量和向量有什么不同点呢？

总结：物理中的矢量都是有单位的，不仅有大小、方向，还有位置. 矢量都有实际意义，但是向量只有大小和方向.

设计意图 在比较辨析中理解向量的本质，逐渐掌握向量的“二重性”.

5. 构建体系——类比中系统归纳

师：0和1是实数中特殊的元素，那么向量中有吗？

总结：了解向量中的特殊向量——长度为0的零向量和长度为1的单位向量.

师：向量能够平移吗？平移后向量改变了吗？

总结：向量是自由的，平移后不会发生改变，所以今天将向量定义为既有大小又有方向的量.

设计意图 这一环节进一步研究向量的定义，从向量的发生发展的角度，揭示向量的特性——任意平移不会改变，为接下来研究向量的运算埋下伏笔.

情境4：大型生产车间或工地都有一种起重作业的重要设备（天车），天车可以将物体上下和左右位移. 请问这里的上下位移、左右位移以及实际位移之间是什么关系？

设计意图 借助实际生活中的事例进行分析，引出向量的运算，为学习平面向量的基本定理打下基础.

师：我们知道物理中的力可以合成也可以分解，请问向量也能合成和分解吗？

总结：向量的合成相当于加减，向量的分解就是向量的线性运算，后面还要学习平面向量的基本定理.

设计意图 通过力的合成和分解的类比，引出将要学习的向量的线性运算.

师：向量既然有加减运算，那么有没有乘除运算呢？

学生有些犹豫不定.

设计意图 为后续的拓展研究做好铺垫.

情境5：暴风骤雨、雷电交加的夜晚，我们都是先看到闪电，后听到雷声，这是为什么呢？

设计意图 选用学生熟悉的生活场景，引出向量的乘除计算.

学生讨论交流，教师总结升华. 通过学生概括、教师总结的方式，使学生在数学文化的熏陶中再一次升华对知识的感受，体会数学的魅力.

本课程通过情境的创设、问题串的设计，引导学生一步步探究平面向量的概念、运算和应用，使学生在潜移默化中掌握向量知识，并且从数学史的角度了解向量产生的背景，更加深刻地理解研究向量知识的意义，为核心素养的落实奠定基础.

参考文献：

［1］ 曹广福，张蜀青. 问题驱动的中学数学课堂教学：理论与实践卷［M］. 北京：清华大学出版社，2018.

［2］ 孙庆华. 向量理论历史研究［D］. 西北大学，2006.

［3］ 陈志江. 基于“三个理解”的平面向量单元教学构想［J］. 数学通报，2019，58（02）：30-33.