循“理”入“法”，“理”“法”相融

钱奕杉 蔡燕娟

摘 要：数的运算是一个推算的过程，其中算理是算法的理论依据，算法则是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的。《不含括号的三步混合运算》一课，让学生在混合运算两步变三步的变化过程中，经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法，循“理”，入“法”，“理”“法”相融，进一步感受和理解相关运算的本质。

关键词：小学数学；算理；算法；《不含括号的三步混合运算》

“不含括号的三步混合运算”是苏教版小学数学四年级上册《整数四则混合运算》单元第一课时的教学内容。本课是在不含括号的两步混合运算的基础上，进一步学习不含括号的三步混合运算。学生之前已经初步掌握了一些混合运算的运算规则和顺序：只含同级运算的两步式题要按从左往右的顺序依次进行运算；算式里有乘法和加、减法，应该先算乘法；算式里有除法和加、减法，应该先算除法；算式里有小括号，应该先进行小括号里面的运算。但是否真的已经深刻体会到相关运算规则和顺序的合理性，能够结合具体的情境活动对这种合理性作出说明？我们认为，应让学生在混合运算两步变三步的变化过程中，“经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法”^［1］，循“理”，入“法”，“理”“法”相融，进一步感受和理解相关运算的本质。

一、循“理”：在情境中理解算理

我们需要在对教材内容深入分析的基础上，根据教学内容的需求，将抽象、难懂的数学知识，用形象、具体的情境展现给学生，让学生能积极地去发现情境中的数学问题，自觉迁移已有经验对现实问题进行数学化的加工，并能在逐步解决问题的过程中经历知识的形成过程，理解算理。

《不含括号的三步混合运算》一课中，理解“同步计算”是教学难点。教学时，结合学生的生活经验创设问题情境，使静态的对象动态化、抽象的概念形象化，带领学生结合具体的数量关系理解算理，感受运算的合理性。

师 同学们都喜欢下棋吗？（出示图1）从中我们能得到哪些信息？要求什么呢？

生 每副中国象棋12元，每副围棋15元；全班一共要买5副棋，而且两种棋都要买到。要求一共要付多少元。

师 如果你是班长，你会怎样买呢？

（根据学生回答，板书四种方案：①买1副中国象棋和4副围棋；②买4副中国象棋和1副围棋；③买2副中国象棋和3副围棋；④买3副中国象棋和2副围棋。）

师 如果按照方案①购买，要付多少元钱呢？列出综合算式。

生 12+15×4。

师 如果按照方案②购买呢？同样列出综合算式。

生 12×4+15。

师 这两个算式可以用三年级学过的两步混合运算的知识来解答。如果按照③、④这两种方案购买，综合算式怎么列？

生 12×2+15×3和15×3+12×2。

生 12×3+15×2和15×2+12×3。

师 观察列出的四个算式，发现与之前学过的两步混合运算相比多了一步，成了三步混合运算，那三步混合运算该如何计算呢？先来算12×2+15×3。

（学生尝试计算，典型解答方式如图2所示。）

师 观察2种解法，有什么不同？

生 第①种是按照从左往右的顺序，先算2副中国象棋多少元，就是12乘2的积，再算3副围棋多少元，就是15乘3的积，最后相加得出结果，要分三步；第②种是先同时计算2副中国象棋和3副围棋多少元，即12乘2和15乘3，再把两个积相加，只用两步。

师 第①种方法中能不能先算3副围棋多少元，即15乘3的积，再算2副中国象棋多少元，即12乘2的积呢？

生 可以的。

师 为什么可以？

生 15×3+12×2和12×2+15×3的计算结果是一样的。这两个综合算式是解决同一个问题，因此先算12×2或先算15×3都可以。

师 可以理解为15×3和12×2的地位是相等的，所以它们可以同步计算，同意吗？

生 同意。

师 再观察四个不同的综合算式解答过程，有什么相同点？

生 都是分别算出中国象棋的总价和围棋的总价。

师 是啊！这两个总价没有规定必须先算谁，后算谁，先算哪一个都可以，最后都是把这两个总价相加算出一共要付多少元。既然这两个总价之间都是相互独立的，所以这两个乘法就可以同步计算，然后相加就行了。

上述教学，把算式放到情境中，借助数量关系感受运算顺序，使得已有的运算经验和算式承载的意义相互印证，让学生在交流和分析的过程中主动把两步混合运算的运算顺序迁移到三步混合运算中来，感受“在不含括号的算式里，有乘、除法，又有加、减法时，要先算乘、除法，再算加、减法”这一算理的合理性，以及先同时算出两个乘积的必要性，完成运算顺序的意义建构。

二、入“法”：在推理中构建算法

核心素养视域下学生运算能力的培养不仅是一个“算”的过程，更是一个“想”的过程。推理是数学的基本思维方式，推理的过程既包含逻辑清晰地表述所学知识的本质，也包含条理分明地给出知识之间相互关系的合理解释。由此，我们可以引导学生在合情推理中構建算法。

师 利用12、2、15、3这四个数，可以得到这样的一个综合算式：12-2×15÷3。这个算式中的乘法和除法还能同时计算吗？

生 不可以。因为，这里的乘法和除法之间是有联系的，算式中的2×15÷3属于同一级的两步计算，得一步一步进行。

师 观察算式中的运算符号，思考这样的三步混合运算又应该怎样算。

生 在没有括号的算式里，如果有乘、除法，又有加、减法，就要先算乘、除，后算加、减；如果只有加、减法或只有乘、除法，就要从左往右按顺序计算。所以，这一算式应先算乘法，再算除法，最后算减法。

师 真棒！那12＋2×15-3这一算式的运算顺序是怎样的呢？

生 先算乘，后算加、减，即先算出2×15的积；再按从左往右的顺序计算，即12+30=42，42-3=39。

師 回到例题的三步综合算式12×2+15×3，刚才我们通过具体的情境，理解了为什么可以先同时计算两个乘法，再计算加法。现在，你能不能利用已经学过的运算顺序的知识，再来解释一下呢？

生 在没有括号的算式里，有乘法和加法，按照“先乘除后加减”的运算顺序，先算两个乘法，再算加法。

师 根据乘法的意义，我们可以将算式还原成最初的状态，写成怎样的连加算式？

生 12＋12＋15＋15＋15。

师 看，这儿是2个12和3个15相加，12×2和15×3属于两个独立的没有关联的整体，所以这两个乘法可以同时计算。

学生在三年级下学期学习两步混合运算时，其实已经初步体会和感受了掌握正确算法在计算中的重要性。在不含括号的两步混合运算中，有乘法和加、减法，“先算乘法”这个运算规则和方法背后的算理，是乘法的意义为同数连加的简便运算，所以在含有乘法和加法的算式中，自然应该先算乘法。那在不含括号的三步混合运算中，就需要学生以已有的运算顺序和相关算理为依据，通过进一步的推理，在讲道理的过程中厘清不同运算的关系，掌握正确的运算方法，去进行更加复杂的混合运算。整个推理活动，有效地丰富了学生的数学思考，使学生在原有两步混合运算经验的基础上形成了新的学习经验，从简单到复杂，感悟不含括号的三步混合运算与以前学习内容的一致性——无论用什么方法计算，都遵循“先乘除后加减”的运算顺序。

三、相融：在应用中统一“理”“法”

算理和算法的关系，正如哲学中理论与实践的关系一样。算理是计算过程中的道理，是指计算过程的思维方式，解决“为什么这样算”的问题。算法是计算的方法，主要是指简化了复杂的思维过程，添加了人为规定的程序化的操作步骤，解决“如何算得方便、准确”的问题。算理和算法统一，“理”“法”相融，才能真正理解运算的意义。教师在教学中，可以根据学生的年龄特征、知识经验、能力水平、认知规律等因素，从单一到综合，抓住学生思维活动的焦点，设计相应的练习，让学生在迁移应用已有经验解决问题的过程中体会运算灵活性，实现“理”“法”相融。

师 我们先来回顾一下之前不同阶段所学的关于混合运算的知识。（课件出示回顾）今天我们又进一步学习了三步混合运算，在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，需要先算什么？

生 先算乘、除法，再算加、减法。

师 没错。今天，我们再一次完善了混合运算的运算规则，也积累了更多的计算经验。不断的积累和完善，让我们能够拥有更多的知识储备和相关能力去解决更复杂的实际问题。（出示教材练习题，见图3）这里有两道实际问题，请同学们理解题意后，列出综合算式独立解决。

（学生独立完成后交流。）

生 第3题可以从问题出发去思考，要求兵兵家的人均居住面积比乐乐家大多少，就要知道兵兵家的人均居住面积和乐乐家的人均居住面积各是多少，然后相减。我的综合算式是：72÷3-85÷5。

生 第4题可以从条件出发去思考，根据美术组有18人，书法组的人数是美术组的2倍，就可以算出书法组的人数，然后算出美术组和书法组的总人数；再根据合唱组比另外两组的总人数多6人，就可以算出合唱组的人数。我的综合算式是：18×2＋18＋6。

生 我在列第3题的综合算式时，先写了72÷3和85÷5，再在两个除法中写了“-”。这样写的好处是，既表达了对问题解决的理解，又说明了运算顺序。

生 我在列第4题的综合算式时，也用了这样的方法，就是按照先算什么，再算什么的计算顺序来写出这个综合算式。

生 我觉得用综合算式计算比分步列式更简单、清晰。

当数学知识和实际问题紧密结合时，学生才能充分运用多元思维有效解决实际问题，并且在解决问题的过程中逐渐融入自己的思维方式，迁移应用已有知识和经验，感受运算顺序的规定性和计算方法的灵活性，不断发展对数学问题的敏感程度和理解程度。

数的运算是一个推算的过程，其中算理是算法的理论依据，算法则是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的。《不含括号的三步混合运算》这节课，在两步变三步的变化过程中，关注直观、强调推理、促进融合，帮助学生感悟运算的本质。

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：18.