多元操作助力数学抽象

张缅

摘 要：“圆的认识”是小学生从认识直线平面图形到认识曲线平面图形的一个转折点，学生的认知水平决定了他们对圆的概念本质理解的困难。《圆的认识》一课教学，有结构地呈现数学现象，激活不同层次的数学心智图像，使之互相联结、综合，引发学生对圆本质的数学抽象，通过延展性操作的运用，推进认知的再提升。此外，还创设充分的思考空间，助力学生感悟极限的数学思想；融入数学史元素，培养学生的文化自信。

关键词：小学数学；操作；心智图像；抽象；《圆的认识》

一、课前思考

（一）教学内容解读

“圆的认识”是苏教版小学数学五年级下册《圆》单元起始课的教学内容，是在学生初步掌握常见直线图形的基本特征及其周长、面积公式，并且直观认识圆的基础上进行教学的。从直线图形到曲线图形，研究的方法、思想都有所变化。这一内容的学习旨在促使学生进一步发展空间观念，为后续学习圆的度量以及和圆相关的立体图形知识提供有力支撑。

就小学生的认知水平而言，从数学本质上认识圆以及相关概念有一定的难度。原因有两点。其一，以往研究平面图形的经验不适用。直线图形的构成要素外显，学生对图形的研究主要从点、边、角等方面开展。而圆的构成要素内隐，圆心、半径、直径等都不在圆上。其二，生活经验阻碍学生深度认识圆的本质。圆形物体在生活中随处可见，因为太熟悉，反倒使得学生对圆的认识聚焦在“形”的特点上，而忽略对圆本质的思考。这就需要教师寻求有效方法引领学生探索圆的本质。

（二）学习情况分析

为了更准确地了解学生知识与能力的起点，厘清学生对圆概念的认知水平，我对五年级两个班的89名学生进行了前测。部分前测问题和学生回答情况如下：

“你听说过圆吗？你对圆有哪些了解？你听说过半径、直径、圆心吗？”100%的学生听说过圆；87%的学生听说过圆心、半径、直径；23%的学生知道圆是曲线图形；38%的学生知道圆是轴对称图形。

“生活中哪些物体是圆形的？”91%的学生能准确说出生活中的圆形物体。

“你会用圆规画圆吗？请你用圆规画出一个圆。”100%的学生会用圆规画圆，但只有25%的学生能画得较光滑。

“你知道圆规为什么可以画出圆吗？”38%的学生能说出圆规两脚之间的距离固定，大部分学生不知道原因。

“请你描述什么是圆。”93%的学生描述圆的外形特点，如光滑、没有角、没有边等，没有学生能说出圆的本质特征。

“你能说说什么是半径、直径吗？”9%的学生能说出大概意思，11%的学生知道直径长度是半径的两倍，大部分学生无法说出什么是半径或直径。

“关于圆，你想学习什么？”93%的学生想研究周长和面积，1%的学生想研究圆的特征。

通过前测可以看出，多数学生可以在生活中辨认出圆形物体，知道圆的外形特点，知道圆的相关概念的名称；所有学生都有用圆规画圆的经历；学生对圆的定点、定长本质没有思考，对半径、直径的概念内涵不理解，对使用圆规画圆仅停留在机械操作阶段，并未将其与圆的本质进行联系；学生把对圆的生活经验当成了数学理解，缺乏对圆的特征研究的主观意愿。

（三）教学思路确定

综上，本课教学，我形成了三个思考方向：（1）学生自我认定已经“认识”了圆，怎样让他们有兴趣“重新认识”圆？（2）学生已经会画圆，怎样让他们主动发现画圆的意义？（3）学生听过“半径”“直径”“圆心”，怎样让他们自主探索这些概念的本质？

基于上述分析与思考，我明确了《圆的认识》一課的教学思路。第一阶段，有结构地呈现圆的数学现象，从纯天然“圆”到人工创作的“圆”再到运动中形成的“圆”，从静态到动态，逐步靠近圆的本质，呈现圆的数学现象，激活不同知识储备或思维水平的学生头脑中对应的心智图像。第二阶段，组织学生用不同方式画圆，将他们不同概括水平的心智图像动态地、有层次地展现出来，通过诸多心智图像的累积、调整、联结、综合，唤醒学生提取共性的本能。第三阶段，让学生反复地操作，不断强化“现象—数学—现象”的对应，逐步抽象出圆“一中同长”的本质。第四阶段，通过操作，运用抽象出的概念本质处理延展性数学问题，让学生将演绎推理与合情推理有机结合，进一步发展抽象能力，对概念本质有新的认识。如此，学生实现圆概念的完整建构，也发展了实践能力和创新意识。

二、课堂实践

（一）走进圆的世界——呈现丰富的数学现象

师 （出示下页图1）注意过这样的自然现象吗？（出示下页图2）欣赏过这样的建筑物或工艺品吗？（出示图3）见过类似的运动吗？世界充满圆。毕达哥拉斯说：一切平面图形中最美的是圆形。从这句话中，你知道圆是什么图形？

（学生欣赏、交流自然中关于圆的现象，体会圆是一种平面图形。）

师 下面，让我们走进圆的世界，一起认识圆。

［设计意图：课始，呈现大量自然界和生活中的“圆”的现象，让学生欣赏、辨认。丰富的现实原型唤醒了学生的生活经验，不仅让学生享受圆的外在美，同时也激发学生探究圆内在奥秘的积极心向。］

（二）尝试圆的画法——激活多元的心智图像

1.自主画圆

师 课前交流中，我发现同学们对圆有了不少认识。现在，我们换一个角度认识圆。小组合作，自选工具画圆。活动要求如下：（1）画一画，自主选择工具（圆规、直尺或其他手边工具）画圆。（2）想一想，所选工具为什么能画成圆。（3）谈一谈，在小组内交流画圆的感受。

教师对各小组的学习情况巡视指导。学生汇报交流，具体如下：

（1）借助有圆面的物体画圆。用这种画法的学生想到了圆的样子，利用胶带或水杯上的圆面，沿着边缘描出圆。他们感觉这样的方法画圆很快。教师提问：你们觉得这种方法有不足吗？学生思考后回答：这样只能描出固定的圆；如果要画出不同大小的圆，则还要选择其他工具。

（2）用直尺画圆。用这种画法的学生联想到自行车轮，先画一个点表示轮轴，再以它为中心画很多一样长线段表示钢丝，最后将这些线段的另一个端点连起来，就像轮胎一样，形成了一个近似的圆。教师请学生简单示范，学生现场画图（如下页图4）。师生互动，教师相机板书：定点、定长。教师提问：怎么得到圆呢？学生回答：画的线段越多，端点就越密；要是画无数条线段，端点就能连成真正的圆。教师请学生观察所画的图形，追问：可这个“圆”有的地方凸起来，有的地方凹进去，这是为什么？学生思维被点燃，纷纷补充：画得线段不一样长，并没有都正好2 cm；画得线段也不够多；线段画得不均匀，有的地方密，有的地方疏……学生表示，虽然画不完无数条，但可以画密些、准些，就能说明问题；并且，通过想象、推理，这样能得到一个均匀的圆。教师追问：那这个圆上每个点到定点的距离都怎样？学生异口同声：相等。学生感受到用这种方法能画出大小不同的圆，只要在尺上找到不同的刻度（即选择不同的定长）。

（3）用圆规画圆。教师请用圆规画圆的学生上台画圆并介绍画法。学生说，联想到双人滑冰的画面（图3左图），圆规针尖就像男运动员的脚固定了圆的位置，笔尖就像女运动员的脚旋转一周画出了圆。教师追问：为什么这样就能画出圆？学生讨论：因为男运动员的脚和女运动员的脚之间的距离没有变过，也就是圆规两脚之间的距离相等。学生也指出了一些同学画得不“圆”、不光滑的原因，正是圆规两脚之间的距离改变了。进而提出，用圆规画圆要捏好手柄，加强操作的规范性。通过交流，学生自主得到结论：圆规两脚之間的距离固定，有了“定长”，这样就能画出圆。教师顺势沟通画法：用圆规画圆和用直尺画圆，你的感受相同吗？学生指出：用圆规更专业、快捷；本质上二者是相同的，都有定点、定长，只是用圆规画圆隐藏了无数条定长的线段，直接把无数个端点连成曲线。

［设计意图：在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。用直尺画圆这种画法是将圆的隐形本质可视化的绝佳方式。相较于用有圆面的物体的画法，这类学生形成的圆的心智图像更贴近数学本质。及时将这样的心智图像作为教学资源，因势利导，请学生现场画圆，放慢圆的形成过程。在这样的操作过程中，学生经历从数学现象（如不均匀、凹凸不平等）过渡到心智图像（在脑海里不断调整，并想象、推理）逐步走向数学本质。学生主动参与，积极探索，发展了空间观念，并初步感悟了极限这一数学思想。刺激到用圆规画圆学生的数学现象往往是生活中那些动态生成的圆，这些现象投射在学生脑海中形成的数学心智图像也是概括水平最高的，它们最接近圆的本质，利于学生建构概念。教师给予充分的空间让学生展示和交流用圆规画圆的方法，抓住“为什么圆规能画出圆？” 这一关键问题引发学生的数学思考，让学生主动将数学现象和数学本质建立联系。通过圆规画圆与直尺画圆的方法比较，为抽象圆“一中同长”的本质奠定基础。］

2.规范画圆

教师用圆规示范画出一个定长2 cm的圆，规范画法。

师 定点在圆的什么位置？

生 中心。

师 定长2 cm的线段有什么特征？

生 一端在圆心，一端在圆上。

师 像这样的线段有多少条？

生 无数条。

师 为什么？

生 因为圆上有无数个点都能和圆心连成这样的线段。

交流互动中揭示圆心、半径概念以及字母表示。请学生画一个半径3 cm的圆。并用字母标出圆心和半径。展示几幅作品（如图5），观察交流。

生 这些圆一样大，因为半径相等。

请学生在刚才画的圆基础上，保持圆心不变，再画一个不同的圆。再展示几幅作品（如图6），观察交流。学生联想到水波扩散与树木年轮图片（图1），发现半径变短，圆变小；半径变长，圆变大。将两次作品放在一起，再次组织观察、交流感受。学生明确：半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

师 同学们，通过刚刚的学习，我们已经认识了圆心、半径，知道了圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。

［设计意图：通过示范画圆，一方面让学生明确用圆规画圆时需要注意的关键环节；另一方面，画圆过程中，定点（圆心）和定长（半径）自然出现，互动交流中，圆心、半径概念的本质呼之欲出。通过操作，学生关注的不再是概念的名称，而真正理解了概念的内涵。接着，学生分别在不同的纸上画相同半径的圆和以相同的圆心画不同半径的圆。两次画圆，一方面巩固了学生规范的画圆方法；另一方面，将不同学生的作品巧妙地同屏展示，形成数学现象，引发交流反思，不同的心智图像在积累中组合，渐渐概括出半径、圆心的作用。在这个操作活动中，学生再次回到一开始展示的水波扩散与树木年轮图片，促进“生活（现象）—数学—生活（现象）”的反复对应，加深概念的理解。］

（三）体会圆“一中同长”——完成深度的数学抽象

教师给每位学生准备一张圆形纸片，请他们用圆规在作业本上画出一个与之同样大小的圆。活动要求如下：（1）画一画，想办法用圆规画一个与圆形纸片一样大的圆。（2）想一想，画圆过程中，你还发现了什么。（3）说一说，把你的想法在小组内交流。

学生提出“先找半径”的观点。有的学生把圆片对折、再对折找到圆心，连接圆心和圆上任意一点得到半径。有的学生把圆片对折一次，用尺子测量折痕所在线段的长度，找到线段的中点，由这个点到圆上一点的长度得到半径长。

通过对比，学生发现不管用什么方法找半径都要先找到圆心。教师组织学生讨论为什么。学生交流：因为半径有两个端点，一个端点在圆上，圆上任意一点都可以；另一个端点在圆心，圆心只有一个，在圆的中心，所以关键在确定圆片的圆心。

教师引导学生再研究圆片，学生发现自己的圆片上均出现了一些折痕，这些折痕很有特点。教师请学生用不同颜色的笔画出两条折痕（如下页图7），并与同桌一起研究。学生交流：这些折痕经过圆心，两端都在圆上；长度是半径的两倍，可以通过折或量得出；这样的折痕有无数条；圆是轴对称图形，折痕所在的直线是它的对称轴……教师顺势指出：这样的线段叫作直径，直径用字母d表示，直径和半径的关系怎么表示？d=2r和r=d/2一位学生拿出一个小号圆片，将其直径和原来圆片的半径比较，提出质疑：我这个圆的直径怎么不是半径的两倍？同伴补充：这样的关系要在同一个圆中。

师 回顾这节课的两次活动，你有什么收获？

生 研究了圆心、半径、直径，知道了它们的特征以及半径和直径之间的关系，学会了规范地画圆。

师 中国古代科学家墨子这样概括圆的特征：“圆，一中同长也。”你能解读一下这句话吗？

生 “一中”，一个圆心；“同长”，半径（直径）等长。

师 中国古人充满了智慧，4个字就概括了圆的本质。

［设计意图：让学生画一个和圆形纸片同样大的圆，学生通过操作找到圆心，逆向理解半径的内涵。抓住操作中的生成性资源——折痕开展研究，直径概念的内涵、特征以及直径与半径的关系自然建构。通过小圆片直径与大圆片半径的对比，完善了学生对概念外延的理解。通过对比不同的作品和画法，激发学生想象和推理。至此，那些不断积累的圆的心智图像在多向联结作用下综合，形成完整的圆的概念，实现对圆本质的深度抽象。另外，中国数学传统文化的介绍，也让学生体会到我国古代劳动人民的伟大智慧，提升文化自信。］

（四）综合应用圆的本质——引发知识再认识的延展性操作

师 给你一条线段AB，你能画一个圆，使圆周经过线段端点 A、B吗？

大部分學生认为：应以线段AB的中点为圆心，线段AB的一半长度为半径，只能画出一个圆。教师鼓励学生思考是否有不同的方法。有学生想到：线段AB的垂直平分线上任意一点都可以作为圆心O；点O、点A、点B形成等腰三角形，等腰三角形的腰OA作为半径。学生思路激活，认为可以画出多个圆，甚至无数个圆（如图8）。

师 课要结束了，但对圆的研究没有结束，圆里还有太多的秘密等着我们探索挖掘。

［设计意图：延展性练习，充分挖掘“做”与“思”的空间，引发学生开展不同层次的操作。首先，学生通过刚才习得的知识和方法进行演绎推理，初步解决问题，获得成功喜悦。接着，教师进一步启发，鼓励学生对成果进行拓展，将问题吊到半空，触发学生“跳一跳，摘果子”。新一轮操作把学生思维引向“最近发展区”，结论从一个圆到多个圆再到无数个圆，实现新的突破。］

三、课后反思

（一）提供递进式操作路径，促进认知发展

本课设计了两个以“画圆”为主线的大活动。

第一次“画圆”分三个层次展开：层次一，学生自主画圆，以问题“为什么能画成圆”勾连学生的不同画法，展示不同层次的心智图像，将数学现象与数学本质主动建立联系。层次二，教师示范画圆，边画边谈“定点在什么位置”“定长的线段有什么特征”，圆心、半径的内涵呼之欲出，对概念的认识逐步聚焦圆的本质。层次三，学生画指定的圆，对比不同学生的作品，圆心、半径的作用自然浮现。

第二次“画圆”，让学生用圆规画一个和圆片一样大的圆。活动分两条线索展开：明线，在纸上画圆；暗线，在圆片上找圆心和半径。走明线就必定经过暗线，也就必然留下“痕迹”，为学生自主探究直径及抽象出圆的本质及相关概念，提供了鲜活的素材。

全课由大大小小的数学操作活动有机串联，在抽丝剥茧中推动学生对圆的认识的发展。学生在做中思，思后再做，操作层层递进，思维不断提升。

（二）创设充分的思考空间，助力思想感悟

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出：为学生提供丰富的问题情境、充分的思考空间，让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等数学活动过程，帮助学生感悟基本思想，积累基本活动经验。^［1］

本课创设的自主画圆环节，教师开放操作与思考的空间，让学生自由选择手边的工具画圆，这就有了生成“用直尺画圆”的可能性。这个画法的诞生相当于学生自己找到了探索圆本质的“脚手架”。教师抓住这一生成性资源，让学生动态展示圆的形成过程，线从少到多、点由疏到密、形由不像圆到像圆，在多个“越来越……”的过程中，极限思想自然渗透。即使学生最终也没看到标准的圆，但圆的本质已扎根于学生的想象、推理中。直至后续出现了用圆规画圆，学生的猜测、推理得到进一步验证，逐步进行概括。在这样递进的数学探索过程中，学生感悟了极限的数学思想。

（三）融入数学史元素，培养文化自信

新课标强调：注重情境素材的育人功能，如体现中国数学家贡献的素材，帮助学生了解和领悟中华民族独特的数学智慧，增强文化自信和民族自豪感。^［2］

本课引用“圆，一中同长也”（《墨子》），高度概括圆的本质，将数学史元素自然融入教学，让数学课堂更有温度。这也向学生渗透了中国传统文化的精髓，启发学生在“从整体知识体系中提炼出圆的数学本质，发展抽象思维水平”的同时，参悟古人智慧，提升文化自信，坚定爱国情怀。

参考文献：

［1］［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：94，87.