R＇=R0或R＇最接近R0时滑动变阻器的功率最大

雍泰

【摘要】初中物理电功率一节的习题中有时会出现这样的问题，滑片移动的过程中，变阻器功率何时最大？这个问题属于电学中的动态电路问题，有时还会和图象结合起来，学生解答起来，往往困难较多.其实，这类问题先是要会分析电路，能把较复杂的电路进行简化，其次再把滑动变阻器和定值电阻放在一个简单的串联电路中，运用欧姆定律和相关的电功率公式得出滑动变阻器电功率的表达式，这是关键的第一步，第二步就是用数学知识求最大值的问题.可以用公式法、判别式法、求导数法，单调性法等方法.

【关键词】初中物理；电功率；变阻器

基础题型如图1，电源电压U0已知，定值电阻R0的阻值已知，闭合开关，求滑片移动过程中，滑动变阻器R′消耗的功率什么时候最大？最大值是多少？

分析首先，电流从电源正极到负极的过程中依次经过R＇和R0，只有一条电流路径，则R＇和R0串联，电路中电流处处相等，I0=I′=I.

其次，由欧姆定律I=UR得 I′=I=U0R0+R′，

再由P=UI 得P′=U′I′=（U0R0+R′）2R′，

即：P′=U02R′（R0+R′）2，就是R′消耗功率的表达式.

设R′=x ， R′（R0+R′）2=y，则P′=U02y，y=x（R0+x）2，要使得P′有最大值，就要先求y的最大值.下面用导数法、公式法、判别式法三种方法分别求y=x（R0+x）2的最大值.

解法1导数法

y是x的函数，考虑对y求一阶导数.

y′=（R0+x）2－x（2x+2R0）（R0+x）4，当y′=0时，分子为0，（R0+x）2－x（2x+2R0）=0解得，x=R0，舍去x=－R0，把x=R0代入y=x（R0+x）2得y=14R0，再把y=14R0代入P′=U02y得P′max=U024R0.

或者可以这样理解，当R′连入电路的阻值等于R0时，两者的所有参量、电压、电流、电功率均相等，所以此时R0的功率就是R′的功率，而R0的功率P0=U02×U02R0=U024R0=P′max，U024R0就是滑片移動过程中R′的最大功率.

解法2配方法

y=x（R0+x）2=xR02+2R0x+x2

=1x+2R0+R02x=1x2+2R0+（R0x）2

=1（x+R0x）2=1（x－R0x）2+4R0≤14R0，且x=R0x时取等号，即x=R0时取等号.

同样得到当滑动变阻器连入电路的阻值等于R0时，R′的功率最大.亦能得P′max=U024R0；如果x不能等于R0，那么|x－R0x|最小时，即x和R0最接近时，P′有最大值，再用这时的x的值求P′就能得到R′的最大功率.

解法3判别式法

把y=x（R0+x）2化成关于未知数x的一元二次方程，由y=x（R0+x）2得yx2+（2R0y－1）x+yR02=0，该式可看作关于x的一元二次方程，该方程有解时，Δ≥0，Δ=（2R0y－1）2－4y2R02≥0.解得y≤14R0，即ymax=14R0，把ymax=14R0代入y=x（R0+x）2，易得x=R0，同样得到，当R′=R0时，R′的功率最大，P′max=U024R0.

结论动态电路中，滑动变阻器的功率最大时，其连入电路的阻值R和与之串联的定值电阻R0的阻值相等，即R′=R0，R′的功率最大，且最大值为P′max=U024R0（U0电源电压，R0是定值电阻的阻值）；如果R′不能等于R0，最接近R0时，P′最大.

下面就利用上述结论来解答几类滑动变阻器电功率最大的问题.

1已知定值电阻阻值在滑动变阻器阻值范围内

例1一阻值为10Ω的定值电阻与阻值为0～15Ω的滑动变阻器串联后接在电源电压为4V的电路中，当滑动变阻器连入电路的阻值为多少欧时，滑动变阻器的电功率为最大，其值为多少瓦？

分析首先，定值电阻R0=10Ω和滑动变阻器串联，且0＜10Ω＜15Ω，其次用上述结论R′=R0=10Ω，R′的功率最大，得到最大功率P′max=U024R0=16V240Ω=0.4W.

2已知定值电阻的阻值不在滑动变阻器的阻值范围内

例2一阻值为10Ω的定值电阻与阻值为0～8Ω的滑动变阻器串联后接在电源电压为4V的电路中，当滑动变阻器连入电路的阻值为多少大时，滑动变阻器的电功率为最大，其值为多少瓦？

分析已知定值电阻与滑动变阻器串联，首先确定10Ω＞8Ω，滑片移动过程中，R′的阻值不可能等于R0；其次考虑|x－R0|最小时，R′的功率最大，当R′=8Ω时，R′功率最大，最后用串联电路特点，R总=R0+8Ω=18Ω，I=4V18Ω=29A，P′max=I2R=（29）2×8Ω=3281W.

3数形结合：电路图结合U－I关系图求滑动变阻器的最大功率

例3如图2所示的电路中，电源两端电压为定值，开关S闭合后，调节滑片，使得电压表和电流表发生变化，获得多组数据，在坐标轴上作出U－I图象，如图3所示，求滑片移动过程中R2功率的最大值.

分析首先，由图2和图3，U随I增大的是R1的图象，U随I增大而减小的是R2的图象；其次，串联电路I1=I2，U1+U2=U总.

最后，由上述结论可知，R2的功率最大时，就是R2连入电路的阻值等于R0时，此时由欧姆定律可知，U1=U2，由图3看出，此时I1=I2=0.15A，U1=U2=3V，所以P2max=U2I2=3V×0.15A=0.45W.

4定值电阻R0有多个时，求滑动变阻器的最大功率

例4如图4-1所示，电路、电源、电压保持不变，只闭合开关S1将滑动变阻器的滑片P从最上端移到最下端的过程中，○V2的最小值示数为3V，电压表○V1与○V2的示数之差变化了2V.闭合开关S1和S2，将滑片P从最下端移动到最上端的过程中，电阻R3的最大功率为0.75W，当滑片P在R2的中点时，电压表○V1与○V2的示数比1∶2，问开关S1，S2都闭合，滑片从最下端移动到最上端的过程中，滑动变阻器R2的最大电功率是多少？

分析首先，简化电路，开关S1闭合，S2断开，三个电阻串联，电压表○V1测的是R2和R3两端的总电压，U3+U2，即○V1＝U2+U3，电压表○V2测的是R1和R2上滑片上端部分的电压，U1+U2上，即○V2＝U1+U2上，此时电路图如图4-2所示.○V2的示数最小时，滑片P在R2的最上端，U2上=0，○V2测的是R1两端的电压，所以U1=3V，P在最上端时，两表示数差：○V1－○V2＝（U2+U3）－U1①，而P在最下端时，○V1＝U2+U3，○V2＝U1+U2，两表示数差：○V1－○V2＝U2+U3－（U1+U2）②，①－②得，（U2+U3）－U1－［U2+U3－（U1+U2）］=2V，得U2=2V.由I1=I2，I=UR得U1R1=U2R2，即3VR1=2VR2得：R1R2=32，R1=32R2 ③，（R2为滑动变阻器R2的最大值）.

其次，开关S1闭合，S2閉合，此时R2上滑片P的下端部分被短路，简化电路图如图4-3所示，电阻R1、R3和R2上滑片以上的部分串联，当R3的功率最大时，总电流最大，总电阻最小，因为R1，R3均不变，故R2连入电路中的阻值最小，即R2上＝0，P在最上端，此时，I=UR1+R3，P3=U3I=I2R3=U2R3（R1+R3）2=0.75W，U2R3（R1+R3）2=0.75W④.

再次，滑片P在中点时，R2上=12R2，○V1测的是R3和12R2总电压，○V1=I中（R3+12R2），而○V2测的是R1和12R2两端的总电压，○V2=I中（R1+12R2），○V1∶○V2＝1∶2，即I中（R3+12R2）∶I中（R1+12R2）＝1∶2，解得，R3=12R1－14R2 ⑤，③代入⑤得，R3=12R2 ⑥由③④⑥得：U2R2=6W⑦

最后，R2看成可变电阻，R1和R3看成定值电阻，因为R1+R3=32R2+12R2=2R2＞R2，所以可变电阻R2在滑片由下到上移动过程中，其阻值始终小于定值电阻，所以当R2功率最大时，就是R2的阻值最大时，即滑片P在最下端时，此时R总=R1+R2+R3.

解得R总=3R2（R2为滑动变阻器的最大值），I=UR总=U3R2，所以，P移动过程中R2的最大功率P2max=U2I=I2R2=U3R22R2=U29R2⑧ ，⑦代入⑧得P2max=23W.

5结语

物理的学习过程和其他学科一样，从入门到熟练的运用公式，分析电路有一个由浅入深，由易到难的过程.对滑动变阻器而言，滑片来回移动，但是只要我们能抓关键的已知条件较多的点，就能找到动中有静的解题突破口.当然，物理解题能力的提升必须要有扎实和娴熟的数学知识和技能作为支撑，数理并用是最完美的解题手段.