谈谈三类排列组合问题的解法

2023-06-22 18:26房琴芳
语数外学习·高中版上旬 2023年3期
关键词:二项式排列组合顶点

房琴芳

高考试题命题者通常会在知识的交汇处命题,这就要求我们熟悉一些综合题目,并熟练掌握一些常用的解题方法和技巧.下面主要介绍一下与立体几何、集合、数列有关的排列组合问题的解法.

一、与立体几何有关的排列组合问题

此类题目主要考查立体几何中的点、线、面的位置关系,空间几何体的结构特征,以及分步、分类计数原理.首先要明确几何图形的结构特征,弄明白几何图形中有哪些点,哪些棱,哪些面,并搞清楚立体图形中的点、线、面之间的关系;再把几何问题抽象为组合问题,利用分步、分类计数原理来求解.

例1.给一个四棱锥P一ABCD的顶点染色,且一个顶点只染一种颜色,要求同一条棱的两端染不同颜色.现在有4种颜色可供使用,那么共有X种染色的方法.如果有5种颜色可供使用,那么有y种染色方法,则 y-x的值是____.

解:如果有4种颜色可供使用,需分两种情况讨论:若C点与A点同色,则P点的染色方法有C4种,A点的染色方法有C1种,B点的染色方法有C1种,C点的染色方法有1种,D点的染色方法有C:种.共有C4.C3·2·C2染色方法;

若C点与A点不同色,则P点的染色方法有C4种,A点的染色方法有C3种,B点的染色方法有C2种,C点的染色方法有C{种,D点的染色方法有C{种.共有C4·C3·C种染色方法.则x=C1.C3.2.C21+C4.C3.C2=48 +24 = 72.

如果有5顏色可供使用,需分两种情况:

若B与D同色,则P点的染色方法有C1种,A点的染色方法有C4种,B点的染色方法有C3种,C点的染色方法有1种,D点的染色方法有C3种.共有C5.C4·C3·1·C3染色方法;

若B与D不同色,则P点的染色方法有C5种,A点的染色方法有C4种,B点的染色方法有C3种,C点的染色方法有C:种,D点的染色方法有C:种,共有C5·C4·C3·C2·C2染色方法;

解题时,首先要明确四棱锥中顶点的个数和位置;然后按照一定的顺序依次对各个顶点染色;最后运用分类和分步计数原理求解.

二、与集合有关的排列组合问题

与集合有关的排列组合问题侧重于考查集合的概念、运算,以及分步、分类计数原理.在解题时要明确集合中元素的意义,对其进行分类讨论,然后分步进行计数.

首先根据集合间的关系确定集合,,然后用分类和分步计数原理求解.解答本题还需要注意两点:①要注意挖掘隐含条件,如对于c6而言,x∈N,同时x≥6;②明确分类和分步计数原理之间的区别,灵活运用分类和分步计数原理求解.

三、与数列有关的排列组合问题

与数列有关的排列组合问题主要涉及两类问题:①将数列作为限制条件的计数问题,此类问题多以选择题、填空题为主;②以排列数、组合数、二项式为条件的数列解答题,此类问题具有较强的综合性,往往需以排列的定义、组合的定义、二项式定理作为突破先根据排列、组合的定义限定m的范围,进而确定出m的值;冉利用二项式定理求出n的值,由此可求出数列的公差d,问题就迎刃而解了.

与排列组合有关的综合问题的命题形式较多,在解题时,我们需灵活运用立体几何、集合、数列等知识求得相关的点的个数、方程、关系式,将问题转化为计数问题,并明确计数的范围;再运用排列组合知识求解.

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