例谈解答含参不等式恒成立问题的两个小措施

罗强　魏瑞英

含参不等式恒成立问题常与函数、导数、平面几何、方程、不等式、三角函数等知识相结合，侧重于考查同学们的分析和逻辑思维能力．这类问题的难度往往比较大，很多同学经常不知该如何应对．事实上，我们只要选用恰当的方法，就能使问题迎刃而解．下面，谈一谈解答含参不等式恒成立问题的两个小措施．

一、数形结合

为了降低解答含参不等式恒成立问题的难度，我们可以采用数形结合法来解题．首先，将不等式进行适当的变形；然后，挖掘不等式中代数式的几何意义，如将y=ax+b看作一条直线，将y=（a-x）2看作一条抛物线，将y=a2看作指数函数；再画出相应的几何图形，通过分析图形之间的位置关系、研究图形的几何性质，来建立使不等式恒成立的式子，从而使问题获解．

由图可知当a>1或a<-1时，函数f（x）的图象始终在y=1的上方，此时f（a）>1恒成立，

所以a的取值范围为（一∞，一1）U （1，+∞）．

解答本题，主要运用了数形结合法．要使f（a）>1恒成立，只需使函数f（x）的图象始终在y=1的上方．于是根据函数f（x）的解析式，在同一平面直角坐标系内作出函数f（x）与直线y=1的图象，结合图形讨论两个图象的位置关系，便可顺利解题．

本题若采用常规方法直接求解，比较复杂，借助图形可以更直观便捷地求得问题的答案，先将不等式两侧的式子看作两个函数解析式，并在同一平面直角坐标系内作出两个函数的图象，只要使函数f（x=（x一1）2的图象始终位于函数f（x）= logax图象的下方，便可使不等式恒成立；再建立新的不等式，即可求出倪的取值范围．运用数形结合法解答含参不等式恒成立问题，可以達到事半功倍的效果．

二、分离参数

有些含参不等式中的参数很容易分离，此时可采用分离参数法来解答含参不等式恒成立问题．常见的思路是先将不等式变形，使参数分离，通常可把参数单独放在不等式的一侧，另一侧是含有变量的式子；然后将变形后不含有参数的式子构造成函数，这样便可将不等式恒成立问题等价转化为函数最值问题；最后利用导数法、基本不等式法、函数的单调性等求得函数的最值，就能通过求函数的最值求得参数的取值范围．

在分离参数时，要关注参数a前面的系数的符号，若为负数，需根据不等式的性质将不等式的符号加以改变，得到一个一端含有参数、另一端不含参数的不等式，冉利用导数法求得不含有参数式子的最值，即可解题，

总之，求解含参不等式恒成立问题的方法很多，除了上述方法，还有函数最值法、单调性法、变更主元法等．但无论运用哪种方法解题，我们都想要仔细研究不等式的结构特征，并将其进行合理的变形，以便挖掘出代数式的几何意义，分离出参数，构造出合适的函数模型，运用恰当的方法破解难题．