分析结构，有的放矢

陈琮化

【摘要】本文对“因式分解”的教学进行了系统地回顾和分析，着眼于培养和树立学生的数学核心素养，帮助学生从整体入手，对学生的困惑进行分析梳理，再进行系统性解构，在“因式分解”学习过程中逐步形成知识结构化的学习，激发学生积极思考、敢于钻研的能力，使学生熟练掌握“因式分解”的形式变化，灵活运用恰当的方法解题.

【关键词】多项式结构分析；因式分解；教学思考

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出：“数与代数是数学知识体系的基础之一，是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石，可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界.”

“数与式”作为代数知识体系中的基本语言，用字母表示代数式及数量关系，用代数式的运算和推理进行一般性结论的表述和总结，以及借助代数式理解和分析实际情境中的某些简单问题，能够帮助学生实现对代数模块体系知识的归纳和梳理、常见解题方法的总结和运用、重要数学思想的渗透和迁移以及数学核心素养的培养和树立.

1 因式分解教材分析

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，对因式分解的具体要求是：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）.同时，能利用因式分解法解数字系数的一元二次方程.

这也就意味着，因式分解的学习建立在“整式的乘法”的基础上，对代数式的恒等变换提出了更高的要求.在实际的教学过程中，能够帮助学生熟练、灵活地掌握因式分解，对后续多项式运算问题的处理、分式综合运算、解一元二次方程组、二次函数、锐角三角函数等相关的恒等变形，以及对某些简单的实际问题进行数学建模后的运算，都有举足轻重的作用.

教材从整式的乘法开始教学，以“在代数式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式”作为引入，要求学生利用之前学习过的“整式的乘法”的相关知识，教师作为引导者的角色，引导学生通过启发得出因式分解的定义，并对“整式的乘法”及“因式分解”之间的关系作出了明确的界定：“因式分解与整式乘法是方向相反的变形”.

在该内容的教学中，教师应通过启发式的引导，帮助学生能够深入体会到二者在恒等变形之间的互逆关系，进而在后续的教学中进一步让学生在这样的关系中感知、体会、观察并掌握因式分解的基本方法，帮助学生明确认识到针对不同结构的多项式需要使用不同的、恰当的因式分解技巧.

其中，提公因式法选取“pa+pb+pc=pa+b+c”为切入点，引導学生观察、总结组成多项式中的各项中具有的公因式，并利用“乘法分配律”的储备知识，总结出“提公因式法分解因式”的一般性方法.

而因为在“整式的乘法”中，学生已学习掌握了平方差公式、完全平方公式的相关知识，教师只需要根据上文中提及的“互逆关系”即可引出“公式法分解因式”的常用结论：a2－b2=a+ba－b；a2±2ab+b2=a±b2.在引出结论后，教师需要对可利用平方差公式及完全平方公式进行因式分解的多项式进行结构化分析，帮助学生理解并掌握什么结构的多项式才可以使用这一基本方法进行因式分解.

通过上述教材分析，笔者感悟到教材本身对因式分解的定位主要是注重培养学生观察、分析的数学技能，培养学生深入迁移数学知识的能力，另外也培养了学生的抽象能力和逆向思考能力，帮助学生能够提高应用意识和创新意识，为后续代数知识体系的建构奠定更加牢固的基础.

2 关于“因式分解”的教学思考

笔者在教学实践过程中发现，学生在学习因式分解的过程中，往往会出现一些困惑和阻碍，围绕这些问题，教师的教学也应从中进行深入的探索和调整.这主要集中体现在以下几个方面.

2.1 什么是因式分解

学生对于因式分解概念的理解经常会陷入一个循环误区.例如，有的学生将一个整式进行因式分解后，又利用整式乘法运算还原成多项式，这类错误在化简求值、恒等变形类题目中很常见；又如，有的学生始终无法做到对多项式进行彻底的因式分解，主要原因是学生没有理解为什么因式分解要彻底.

对于因式分解而言，可以类比整数的除法中要将合数进行彻底的分解为质因数的原理，帮助学生认识到将多项式进行彻底的因式分解，目的都是为了便于能够在多项式的一些除法运算中进行合理、正确地约分运算.

在新课标视角下，理解性教学的观念应深入课堂.“理解”对于概念性知识的学习来说至关重要，所以教师在教授因式分解概念的时候，要对教材整章的相关内容有单元性地整体化解读，围绕单元主题，将因式分解的核心概念与已学知识进行联系.这并不是按部就班地根据教材进行讲解，而是要根据教材中的实际情况，尽可能设计出真实问题，用引导性的方式，帮助学生形成概念性知识的理解力.

2.2 学习因式分解的意义是什么

在新课标视角下，寻找出知识之间的内在联系，建立新知识与旧知识之间的普遍联系和迁移关系，将课程内容具体化，并整合成具有内涵、可延伸性的大单元主题，是教师在本章内容教学中的重要着力点.

具体来说，对于整式的乘法而言，最终的运算结果均为整式.但整式的除法则不然，例如：x2除以x+1，可以表示成x2x+1，但这个结果并不是整式.与整数的除法类似，整式的除法也会出现可以约分的情况，例如：3x4x，在分子和分母中均存在公因式x，可以将x约去，得到结果3x3.这对于学生来说并不难理解.

但如果是较为复杂的整式除法，例如：x2+2xy+y2x2－y2，那么学生需要根据之前学习过的整式乘法公式，对分子和分母进行逆形式的处理，将原式转化成：x+y2x+yx－y，通过观察，可以将分子和分母中的公因式x+y约去，能得出最简结果x+yx－y.这就是后续要学习的分式约分运算.

所以，为了能够更好地掌握整式除法运算及分式综合运算，学习因式分解的意义和必要性不言而喻.教师在处理这一部分课程内容时，要利用类比教学的方式，形成学生能够适应和理解的知识迁移方式.

2.3 如何运用恰当的方法对多项式进行因式分解

很多学生在学习因式分解的过程中，无法熟练、灵活地运用恰当的方法对多项式进行因式分解.主要原因是学生对多项式的组成结构分析能力不足，无法快速、准确地分析多项式适用的因式分解方法.其中也有学生观察能力、抽象能力、应用能力不足的因素.

在学习因式分解之前，学生已经学习了整式的乘法的相关知识.现笔者就三种因式分解的基本方法为切入点，提出一些对多项式组成结构解析的教学思考：

2.3.1 提公因式法

学习提公因式法，应首先分析多项式的组成结构，明确“公因式”的概念内涵，再从“乘法分配律”的储备知识入手，进行多项式的因式分解.

例1 分解因式：2x2y－4xy2.

分析 首先该多项式是由2x2y和－4xy2两个单项式组成，其中2xy为公因式，将其提取出后，根据“乘法分配律”的逆形式，能够得出提取后各单项式剩余组成部分应分别为x和－2y，即可得出因式分解后的结果.

解 原式=2xyx－2y.

借助上述问题，教学中教师应着重讲解如何辨别组成多项式的各单项式的公因式，并引导学生观察各单项式的组成结构，类比整数中“最大公因数”的甄别方式，将各单项式进行逐一拆解，例如：2x2y=2·x·x·y；－4xy2=－2·2·x·y·y.通过观察，即可明确2·x·y为二者的公因式.

提出公因式后，同样类比整数乘法分配律的逆形式，利用整式的除法，求出单项式提取公因式后的结果，类比如下：

15+12=3×5+3×4=3×5+4；

2x2y－4xy2=2xyx－2y.

其次，教师在教学过程中，应引导学生避免出现一些常见的错误.

例2 分解因式：2xy2－3x2y+xy.

解 原式=xy2y－3x+1.

有的学生在处理这类问题时，会出现这样的答案：2xy2－3x2y+xy=xy2y－3x，要引导学生注意对“1”和其他常数的处理.

另外，教师需引导学生学会观察并甄别公因式存在的多样性，

例3 分解因式：ax－y+bx－y.

解 原式=a+bx－y.

在此类因式分解中，公因式以整体的形式存在，例如本题中的x－y，需将其作为一个整体公因式进行提取.这对学生观察多项式的组成结构提出了更高的要求.

2.3.2 公式法

学生前期已完成了平方差公式和完全平方公式的学习，因此对公式法因式分解的教学，应着重从多项式的特征结构入手，引导学生学会观察需要进行因式分解的多项式是否适用于乘法公式.

例4 分解因式：4x2－9y2.

分析 该多项式为二次二项式，可以看成4x2和9y2的差，同时，根据积的乘方，明确4x2=2x2，9y2=3y2，满足平方差公式的结构要求，可利用平方差公式进行因式分解.

解 原式=2x2－3y2

=2x+3y2x－3y.

在本题中，教师应帮助学生明确多项式若要满足利用平方差公式因式分解的要求，必须能将各组成项转化成两个平方式相减的形式，若无法转化，则无法利用平方差公式进行分解.但与此同时，若出现较为复杂的结果形式，则需要对分解后的结果做进一步的化简处理.

例5 分解因式：x－2y2－9x2.

解 原式=x－2y2－3x2

=x－2y+3xx－2y－3x

=4x－2y－2x－2y.

在本题中学生根据平方差公式因式分解后所得出的结果，并不是因式分解的最简结果.遇到此类问题时，教师应进一步引导学生继续观察，是否已将多项式分解彻底，是否还能够继续进行因式分解，要引导学生观察4x－2y以及－2x－2y中均存在公因式，需进一步进行分解.正确解法如下：

解 原式=x－2y2－3x2

=x－2y+3xx－2y－3x

=4x－2y－2x－2y

=－22x－yx+y.

综上所述，对于复杂形式的平方差公式，学生往往会容易掉以轻心，认为运用平方差公式后就已结束多项式的因式分解.教师需通过讲解例5，让学生学会举一反三，避免出现不必要的错误.

而对于完全平方公式来说，更是学生在学习公式法分解因式时的难点.相比平方差公式而言，其结构更为复杂，需求也更为严格.

例6 分解因式：4x2－12xy+9y2.

分析 根据完全平方公式的最简结果的特征，明确能够使用完全平方公式进行因式分解的多项式需满足包含“两式平方和”“两式乘积的2倍”的结构.本题中4x2=2x2，9y2=3y2，12xy=2·2x·3y，因此该多项式满足完全平方公式中的结构特征，可进行因式分解.

解 原式=2x2－2·2x·3y+3y2

=2x－3y2.

例7 分解因式：x2－6xy+4y2.

分析 该多项式中，4y2=2y2，6xy=2·x·3y，因此原式可化为：x2－2·x·3y+2y2，通过观察和甄别发现该多项式并不满足完全平方公式的结构，因此不能使用该公式对该式进行因式分解.

综上所述，运用平方差公式和完全平方公式分解因式时，要熟悉公式的形式和特征，重点分析项数、系数和指数来选择使用什么公式完成因式分解.在教学过程中可以适当列举一些反面示例，加强学生对多项式组成结构的感知.

3 结语

要建立因式分解的知识结构，核心应从因式分解的概念出发，帮助学生能够根据多项式的结构、组成，得出因式分解方法技巧的运用规律.学生需要经历思维的逆向性转变过程，要能够从整体知识结构着手，灵活地运用因式分解的基本方法对多项式进行分解.将知识进行结构化教学、整体性单元教学，也是帮助学生树立数学核心素养的重要途径和方法.

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