基于函数思想的高中数学解题探究

摘 要：面对复杂的数学问题，通过函数思想的应用，利用函数性质和图像，迅速找到题目的“突破口”，加深学生对题目的理解，提升学生的解题能力.另外，学生在利用函数思想分析问题、解决问题的过程中，也促进了数学思维的发展，实现了数学核心素养下的教学目标.基于此，本文分析了函数思想的内涵，以及常用的几种方法，并结合不同类型的数学题目，对其进行了详细的论述.

关键词：函数思想；高中数学；解题能力；核心素养

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）06-0035-03

立足于数学思想和数学解题的内在关联，充分借助数学思想的辅助，降低解题难度、提升学生的解题效率，已经成为一线教师关注的重点.本文聚焦于数学思想中的“函数思想”，对其在数学解题中的具体应用进行了研究和分析.

1 高中数学函数思想概述

1.1 函数思想内涵

函数思想主要体现了处于变化中的量和量之间的关系.由于函数量和量之间是一一对应的关系，因此在对函数思想内涵进行描述的时候，基本上都是运用“规律”这一字眼进行解释的.如：在函数y=f（x）中，自变量的取值范围，以及对应法则f就是函数的基本要素.在这一函数中，自变量处于决定性地位，可决定因变量的值.对于函数的值域来说，则主要受到定义域、对应法则的影响.可以说，从函数的整体上来说，自变量、因变量以及常数之间的关系和变化，都可以在函数中展示出来，并且这三者之间是密不可分的.在运用函数思想进行解题的时候，常常需要将数学问题进行转化，使其成为函数的形式.接着，结合不同的数学题目，确定出具体的函数，如：正比例函数、二次函数、一次函数、幂函数、指数函数、反比例函数，之后依据不同类型函数的具体性质进行求解.

1.2 函数思想在解题中常用的方法

在借助函数思想解决数学问题的时候，最为常见的主要有以下三种方法：

第一，整体法.这一方法主要是对数学题目进行整体的思考和处理，进而使得数学题目解答更加便捷.同时，在运用这种方法的过程中，对学生的逻辑思维能力、知识迁移能力、运用能力的要求非常高，学生在阅读数学问题的时候，不仅要明确整体和局部之间的关系，还能从整体的角度，对有用的数学信息进行整合；有的学生在解决题目的时候，需要运用具体的数值，对其进行验证、整体运算等.

第二，递推思想法.这种方法常常应用于含数学规律的题目中，仔细探索题目中蕴含的递推关系，并根据这一关系，构建与其相对应的函数，并利用函数的性质，探索出数学问题的解决思路、解决方法.同时，这一方法常见于数列问题中，尤其是利用数列前n项和公式解决问题中，是通过递推思想构建函数的方式进行解答.

第三，归纳假设法.这一函数思想解题方法常常被应用到解决探索类的数学问题中.在这一类数学问题解决中，学生虽然不甚了解数学问题的具体性质，但通过观察，借助不完全归纳法，从整体的角度上进行归纳假设，并对自己的假设进行验证.

2 函数思想在高中数学解题中的具体应用

2.1 利用函数思想解决不等式问题

在高中数学学习中，不等式是最为重要的考查内容之一.有关不等式的问题中，证明类的题目难度系数最大，对学生的思维能力要求最高.其实不等式证明和函数之间存在一定的关联性，很多不等式问题实际上就是函数中的正负区间、零点、单调性问题.学生在解决不等式问题的时候，需要考虑的内容非常多，不仅仅要关注不等式的形式，还要考虑不等式的解集是否与答案的要求相符合，应结合限定的条件对解集结果作进一步判定.鉴于不等式解题的特点，如果忽视了函数思想的运用，学生不仅难以找到解题的突破口，甚至频频出现错误.因此，为了提升学生的解题效果，在指导学生解答不等式问题的时候，必须要融入函数思想，将不等式问题转化为函数问题，最终结合函数性质和图像进行解答.例如，已知不等式n2+mn+3＞4n+m恒成立，且m的范围是［0，4］，求n的取值范围.如果仅仅局限于不等式解答中，学生很难找到解题的思路，此时，就可融入函数思想，引导学生对这一不等式进行分析，以m作为自变量，对其进行变形，成为一个新的函数，即：y=（n-1）m+n2-4n+3，此函数中y＞0恒成立，结合题目中给出m的范围［0，4］，利用函数的性质和图像，计算出n的取值范围.由此可见，在不等式问题的解答中，通过函数思想的融合，可促使学生快速找到题目的“突破口”.

2.2 利用函數思想解决数列问题

数列是高中数学知识体系的重要组成部分，也是高考必考内容之一.因为数列和函数之间存在较大的相似性，数列就可以将其看作是一种非常特殊的函数，数列中的每一个数字，不仅仅是数列中的项，还可以将其看作为项目的函数.因此，可将数列看做是通过自变量不断增大，得出相应数值的函数，进而将其转化为相契合的函数，利用该函数的性质、图像等，完成等差、等比数列问题的解答.例如，在数列an中，已知S2n=4n2+2n+1，求数列Sn.在这一数列问题中，题目描述的十分清晰，看起来十分简单.但是如果学生直接运用数列的相关知识进行解答，学生就会发现这一过程十分困难，甚至还会在解题的过程中，陷入惯性思维中，导致其出现各种错误.面对这一现状，高中数学教师就可融入函数思想，对这一数列问题进行转化，使其成为函数f（2n）=4n2+2n+1.之后，利用函数换元法，将原本函数中的2n换为n，此时原来的函数就演变为f（n）=n2+n+1.经过函数思想的融合，使得原本复杂的数列问题，转变成为简单的函数问题，学生只要借助函数图像和性质，即可快速、高效解答此类问题.

2.3 利用函数思想解决方程问题

在高中数学学习中，方程问题尤为常见.具体来说，方程问题主要是由含一个未知数或多个未知数的等式组成.对于高中生来说，方程问题更为复杂，解题思路也更加多样化.在传统的方程解决中，学生常常面临着较大的困难.基于函数与方程的内在联系，将原本的方程问题进行转化，使其成为两个函数，借助函数思想进行解答.例如，已知在方程x2-ax-bx+ab=2中，该方程拥有两个根，分别记为m、n，并且b＞a，n＞m，现对a、b、m、n四个实数的大小进行对比.在这一方程中，涉及的未知量非常多，如果直接按照方程解决的模式进行，学生就会面临着非常大的困难，甚至出现无从下手的现象.鉴于此，在优化方程解题教学时，就可融入函数思想，对这一方程进行转化，使其成为两个函数.在转化的过程中，教师首先指导学生对题目中的方程进行化简处理，成为（x-a）（x-b）-2=0，结合函数与方程之间的内在联系，将其构造成为两个函数，即：f（x）=（x-a）（x-b）-2、g（x）=（x-a）（x-b）.因此原本复杂的数学问题转变为两个二次函数，学生结合函数的性质，就可明确这两个函数的图像均为开口向上的抛物线，利用函数图像的平移规律，由此可知f（x）是将函数g（x）向下平移两个单位而得到的.最终结合函数的图像与性质，得出a、b、m、n四个实数的大小，完成这一数学方程问题的解答.

2.4 利用函数思想求解参数范围

在高中数学学习中，求解参数范围这一数学题目最为典型.以往，教师在对这一类数学题目进行解答的时候，基本上遵循以下两种思路进行：第一，对题目进行认真分析，将题目已知条件中存在的不等式关系分析出来，随之运用不等式的相关知识进行求解；第二，运用函数思想，分析题目中存在的等量关系，并据此构建函数，利用函数的定义域进行求解.例如，已知a、b是正数，如果ab=a+b+3，求ab的取值范围.在对这一道数学题目进行分析时发现，该题题干十分简单，已知条件简单明了，学生结合所学的知识，能够采用多种方法进行解答.同时，也可利用函数思想进行转化，将这一数学题目转化为函数，即根据题目可将其与一元二次方程中求两个根之间的关系进行联系，即ab=t，则可将ab=a+b+3转化为a+b=t-3，并据此构造函数f（x）=x2-（t-3）x+t，最终借助函数的图像和性质，得出t的取值范围，求出ab的取值范围.

2.5 利用函数思想解决实际生活问题在新课标背景下，数学问题的生活化在考试中所占比重越来越大.与普通的数学问题相比，生活化的数学问题更加复杂、综合、系统，对学生的要求更高.通过教学实践发现，这一类数学题目常常是学生的“拦路虎”，失分率非常高.鉴于此，在优化高中数学解题教学时，就可融入函数思想，将原本复杂、综合、系统的数学问题进行转化，使其成为简单的函数问题，进而运用函数性质和图像进行解答.通常，在常见的路程问题、生产问题、价格问题中，都可运用函数思想进行解答.例如，在对路程问题进行求解的时候，由于其中涉及路程、速度、时间三者的关系，尤其是在匀加速的直线运动中，又增加了加速度这一概念，使得问题变得更加复杂.此时，可借助函数思想，假设总路程为s，加速度为a，初速度为v0，时间为t，进而结合路程的相关公式，得出s=v0t+1/2×at2.再结合函数的性质，即可快速求出答案.

3 函数思想在高中数学解题中的应用效果分析

通过课堂教学实践，将函数思想应用到高中数学解题教学中，取得了显著的效果和价值.具体来说，集中体现在两个方面：一方面，降低了学生的解题难度.针对高中数学题目来说，常常具备极大的难度，尤其是题目内容和要求变化多端.在这一情况下，高中生只有熟悉相关知识，才能完成数学问题的解答.以往，学生基本上都是借助大量的练习，依托现成的模板进行解答，但这种训练效果不甚理想.而通过函数思想的应用，学生利用函数思想加深题目的理解，借助函数的性质和图像，在最短的时间内找到解题的突破口.如此一来，不仅降低了数学解题难度，也提升了学生的解题效率；另一方面，提升了高中数学解题教学效果.纵观当前高中数学教师的解题教学，教师常常花费了大量的时间和精力，学生却云里雾里，摸不清解题的门路，甚至只限于教师所讲的数学题目中，一旦稍有变化，学生便无从下手.而通過函数思想在数学解题中的应用，教师通过函数图像围绕数学问题进行讲解，学生则在函数图像和性质的辅助下，快速理解数学题目，找到解题的思路.如此，通过函数思想的应用，有效提升了数学教师的解题教学效率.

综上所述，基于数学学科的特点，加强数学解题教学，培养学生的数学解题能力是当前高中数学教学的重难点.针对当前高中数学解题教学不太理想的现状，高中数学教师不仅要重视数学解题教学，还应将数学解题教学与函数思想整合到一起，利用函数的性质和图像，分析数学问题、找到解题突破口、形成解题思路，从而全面提升高中生的数学解题能力.

参考文献：

［1］

张宏斌.浅谈函数思想在高中数学解题中的应用［J］.数理化解题研究，2022（18）：26-28.

［2］ 邵春燕.高中数学解题教学中函数思想的应用［J］.数理天地（高中版），2022（06）：29-30.

［3］ 崔英红.关于函数思想的高中数学解题教学策略分析［J］.科幻画报，2022（02）：155-156.

［4］ 李腾.如何用函数思想指导高中数学解题［J］.数学学习与研究，2021（34）：17-19.

［5］ 马建文.基于函数思想的高中数学解题教学策略［J］.学周刊，2021（23）：153-154.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2022-11-25

作者简介：魏健（1981.9-），男，福建省永泰人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.