一道函数导数题的“深挖细掘”

夏玉梅 鲁依玲 宁连华

摘 要：2022年新高考数学Ⅰ卷第22题是一道全面考查学生的数学知识、能力、思想、素养，立意深刻的函数导数题。梳理其解法特点，发现学生的错误主要表现为函数概念要素把握不清，二级结论缘由不加说明，数学运算能力比较薄弱，文字、图形语言转化困难，分类、化归思想掌握不佳，应变创造能力匮乏。对此，提出进一步关注素养提升的教学建议：注重基本概念，感悟形成过程；关注运算阶段，提升运算能力；明确三种语言，体悟转化价值；把握教学环节，渗透数学思想；学会抽丝剥茧，实现“多题一解”。

关键词：数学高考；函数导数题；核心素养

审视近几年的新高考数学试卷，不难发现：一方面，函数导数题的地位愈发重要，基本上都作为压轴题出现，承担着区分、选拔的重要作用；另一方面，函数导数题的呈现方式灵活，主要考查学生综合运用函数、导数、方程、不等式、逻辑等知识的能力，既涉及对通性通法的理解与掌握，更兼顾对思维的灵活性和创新性的考查，比较全面地考查了学生的必备知识、关键能力和数学核心素养［1］。

毋庸置疑，函数导数题在高中数学学习中占有举足轻重的地位。但是，从师生对该类题的体会与反馈中可以发现：即使平时大量“刷题”，掌握了一定的“模式”或“套路”，仍然会有很多学生谈虎色变，容易出现“做不好、想不清、算不准、变不当、写不精”的现象。本文立足于《普通高中數学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课标”）的学习要求，结合学生的答题反馈，深入分析2022年新高考数学Ⅰ卷第22题（函数导数题）的考查意图、解法特点及典型错误，并提出相应的教学建议。

一、 立意剖析

2022年新高考数学Ⅰ卷第22题如下：

已知函数f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值。

（1） 求a；

（2） 证明：存在直线y=b，与两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。

（一） 学科知识视角——验基础

课标指出：函数是现代数学最基本的概念，是贯穿高中数学课程的主线。［2］本题主要考查函数的相关知识，考查的知识点主要分布在必修课程函数主题的“函数概念与性质”单元和选择性必修课程函数主题的“一元函数导数及其应用”单元中，对应的内容要求主要包括“了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；借助函数图像会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义”［3］和“能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值”［4］。

除此之外，本题还巧妙地将等差数列、不等式等相关知识加以融合，在知识点交汇处命题，落实对学生基础知识的整体考查。

（二） 数学能力视角——查本领

课标提出了发展“四能”（发现和提出问题、分析和解决问题的能力）的学习目标。本题主要考查了学生分析和解决问题的能力，也涉及对学生的推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力和应变创造能力的考查。

本题以函数及其导数为载体，注重“能力为重”的命题立意，立足于分析和解决问题的全过程，引发学生深度思考。题目以相同的最小值为切入点，让学生更容易联想到利用导数研究函数的极值，帮助学生搭建分析问题的桥梁，启发学生用数学的思维分析问题，用数学的方法解决问题。解题全过程始终贯穿着对推理论证能力的检视；寻找直线y=b与曲线y=f（x）、y=g（x）的三个不同交点的过程又体现了对空间想象能力的考查；将方程解的唯一性转化为函数零点问题、判断函数G（x）=f（x）-g（x）的导数符号的过程，又需要学生具备灵活变通的创新能力。

（三） 学科素养视角——悟思想

课标提出了高中数学六大核心素养，分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，并强调学科核心素养是育人价值的集中体现。［5］本题在数学知识背景下，以数学抽象、逻辑推理、数学运算等多方面学科核心素养为落脚点。解题全过程以逻辑推理为考查主线；在利用导数研究函数最值的过程中，需要学生熟练掌握计算导数的方法，灵活转换函数单调性的文字语言和图形语言，并正确判断函数的单调性，涉及对学生的数学抽象和数学运算等的考查。

总的来说，本题“入口”宽、“出口”窄。命题考查全面，立意深刻，有较大的区分度，体现了较好的选拔功能。

二、 解法探究

（一） 第（1）小问的解法特点

此问主要考查学生对函数最小值的求解，涉及函数的导数、单调性、零点等基本知识，蕴含分类讨论、化归等数学思想，着重体现对逻辑推理、数学运算等核心素养的考查。

解题的关键之一是，把握思考的方向，抓住“f（x）有最小值”这一条件对a进行分类讨论。通过求导，可判断出：若a≤0，则f（x）没有最小值。因此，只需要对a＞0的情况做进一步分析。

（四） 文字、图形语言转化困难

在本题解答中，部分学生过分依赖图形，以图形来代替证明，不能准确地将图形转化为文字语言。例如，在求解f（x）和g（x）最小值的过程中，描述函数的单调性时，只呈现图形语言，缺乏文字语言的表达，导致解题过程不规范。

（五） 分类、化归思想掌握不佳

在第（1）问解答中，通过题目条件求a的值时，大部分学生不讨论a≤0的情形，直接得出结果，导致解答过程不严谨。另外，相当一部分学生在讨论方程解的唯一性的过程中，难以将其转化为容易解决的函数零点问题，导致解题过程复杂，运算结果错误。

（六） 应变创造能力匮乏

在讨论方程a-alna=1+lna解的唯一性的过程中，有的学生能够将其转化为函数零点问题，但由于对式子结构特征的洞察力不够，应变创造能力匮乏，往往构造的函数比较复杂，导致解题过程复杂，运算结果错误。

四、 教学建议

高考题有一定的价值导向，需要深挖细掘、正本清源，从而实现“为教学服务”的宗旨。基于以上对本题多方面的分析，建议数学教学进一步关注素养的提升，做好以下几个方面。

（一） 注重基本概念，感悟形成过程

不少学生对函数的定义域要素把握不准，对函数的单调性知识掌握不牢。可见，学生缺乏对基本概念的深度理解。这就需要教师在教学中，讲清基本概念的内涵，讲明基本概念的发生、发展过程，讲好与基本概念强相关的知识网络。

教师不妨通过创设情境、引导参与、组织小组讨论等多种方式带领学生揭示数学过程，引导学生感悟问题、探索问题、解决问题、深化问题，帮助学生实现融会贯通。除此之外，教师还应时常监控学生的学习状态，对学生的学习情况作出及时、正确的评价，在学生易出错、易困惑处指点迷津。

（二） 关注运算阶段，提升运算能力

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。它是解决数学问题的基本手段，主要表现为理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路和求得运算结果四个方面。［7］

学生进行数学运算时，会经历分析运算对象、选择运算法则、形成运算过程、得出运算结果四个阶段。在这四个阶段中，教师要始终作为学生学习的引路人。在分析运算对象时，教师要清晰地讲解分析的过程，避免学生出现“知其然而不知其所以然”的现象，帮助学生理清脉络，真正做到会分析、能分析。在选择运算法则时，一方面，教师应加强运算法则的说明与讲解，避免学生出现“对公式混淆或遗忘”的现象，帮助学生从自身认知结构中提取恰当的内容进行相应的运算；另一方面，教师应注重培养学生的观察能力，引导学生突破常规，打开思维，鼓励学生从多角度、多层次进行大胆尝试，合理变式，寻求多种解决问题的方法。在形成运算过程时，杂乱的演算过程有时会造成不必要的错误，如看错算式、结果等，这归根结底是由没有规范作答引起的。俗话说“不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海”，作答的规范程度体现在学生平时的作业和试卷中。因此，教师要在批改的过程中，找出学生无法规范解答的原因，对症下药，培养学生规范解答的能力。此外，在平时的教学中，教师应秉持“身正为范”的理念，进行规范解答示例，帮助学生养成规范解答的习惯。在得出运算结果时，教师要提醒学生注意化简。

（三） 明确三种语言，体悟转化价值

数学语言是数学思维、数学表达和数学交流的工具。根据其外部特征，可以分为三种：文字语言、图形语言、符号语言。三种语言形式互为补充。在数学学习中，文字语言通俗易懂，更接近我們在现实生活中使用的自然语言；图形语言从视觉角度更直观地帮助我们理解问题；符号语言能够简化问题，克服自然语言的某些含糊不清之处。三种语言的相互转化有助于加深学生对数学知识的理解，进一步完善学生的数学知识体系。而在本题的解答中，部分学生出现了过分依赖图形，以图形代替证明，不能准确地将图形语言转化为文字（符号）语言的现象。

为了减少此种现象，教师可以在数学教学中引导学生分别用文字语言、图形语言、符号语言准确规范地叙述教学内容，为学生建立三种语言之间的关系打基础，培养学生三种语言的互译能力。例如，在“指数函数”一课的小结环节，教师可以利用表格的形式将概念的文字语言、图形语言、符号语言呈现出来，从数、形等不同视角帮助学生认识、理解、深化概念，提高学生的数学表达能力。

（四） 把握教学环节，渗透数学思想

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维加工而产生的结果，它蕴含在数学知识的形成、发展和应用过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括。常用的数学思想主要有数形结合、抽象、归纳、类比、演绎、分类讨论、化归、假设、方程、函数等。本题解答中主要蕴含了数形结合、分类讨论、化归等数学思想。很多学生数形结合的思想掌握较好，但是分类讨论与化归思想方面的意识和能力比较薄弱。

教师可以在“研—讲—练—评”四个教学环节中，加强数学思想的渗透。研读教材、课标时，教师应毫剖厘析，深刻领会教材的编写意图，将知识背后隐藏的数学思想充分地挖掘出来。讲授知识时，教师要结合具体的教学内容，创设精准的教学活动，引导学生感悟数学思想。练习巩固时，教师要引导学生有意识地应用数学思想，把握思考的大方向。评讲、复习时，教师应给学生留足探索空间，让学生再度经历知识的形成过程，对隐含在其中的数学思想知根达底。

比如，在“练”的环节给学生渗透分类讨论思想时，教师可以遵循以下教学程序：首先，让学生清楚引起分类讨论的原因。俗话说“授之以鱼不如授之以渔”，只有掌握引发分类讨论的关键，学生才能具备分类讨论的意识。其次，帮助学生准确掌握分类讨论的方法。要注意提醒学生采用统一的标准进行分类，在分类时做到不重不漏。最后，引导学生对分类讨论后的结论进行正确整合。例如，对于例题“已知tanα=-1，求sinα”时，根据tanα=-1<0，可知α在第二象限或第四象限，而sinα在第二、第四象限的值不同，此时，就需要对α所在的象限进行分类讨论，得出α在第二象限时sinα的值为多少、α在第四象限时sinα的值又为多少。

（五） 学会抽丝剥茧，实现“多题一解”

课标在课程基本理念中指出：“把握数学本质，启发思考，改进教学。”［8］数学是一门研究规律的学科，有其内在的根本规律，即本质属性。纵观历年高考函数导数题，可以发现：试题一如既往地以基础知识为载体，只是在背景材料和设问角度上苍黄翻覆、常考常新，可谓“标新而不立异，交叉而不偏离”。因此，学生要想在试题解答中“脱颖而出”，就需要洞见试题的症结。但多数学生对导数知识本质的掌握仅停留在囫囵吞枣的阶段，进而导致在遇到相关试题时总是迷踪失路、不知所措。

教师在教学中要教会学生在“题海”中抽丝剥茧，进一步抓住问题的本质。为此，要引导学生“在变中找到不变”，挖掘出“母题”，“以不变应万变”，实现“多题一解”。具体表现为：练习时，引导学生把一个题目中相近、相似、相关的知识不断进行联系、整合、拓展，达到举一反三、触类旁通、知类通达的效果。这种学习方式不仅能激发学生的联想能力，让学生掌握“探寻各知识之间的关联”的诀窍，同时能培养学生的自主学习能力，提升学生的数学核心素养。

参考文献：

［1］ 马启银.“数”山有路“法”为径，“学”海无涯“图”作舟——2021年新高考Ⅰ卷22题导数压轴题赏析［J］.山东教育，2022（10）：5457.

［2］［3］［4］［5］［7］［8］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：1819，19，39，4，7，3.

［6］ 教育部教育考试院.创设情境 发挥育人作用 深化基础 考查核心素养——2022年高考数学全国卷试题评析［J］.中国考试，2022（7）：1419.