数学建模：实现现实世界与数学世界的对话

康叶红　叶旭山

摘  要：2022年中考數学江苏南京卷第25题是整份试卷的代数压轴题，以问题串的形式呈现试题，以水池注水为实际情境，考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 以该题为例，从试题评析、解法赏析、拓展研究和教学启示等方面进行了思考.

关键词：一次函数；数学建模；核心素养

2022年中考数学江苏南京卷第25题以纯文字的形式呈现，侧重基础，重视思维，聚焦能力和素养立意，重在考查学生运用一次函数模型分析、解决简单实际问题的能力及建模思想，凸显对学生的抽象能力、模型观念和应用意识等的考查.

一、试题呈现

二、试题评析

三、思路探析及解法赏析

【评析】函数刻画了两个变量之间的对应关系. 该题刻画了甲、乙水池注水时间差与每分钟向甲水池注水量a之间的关系，可以用函数观点来解决问题，充分利用函数的表达式与图象，渗透数形结合思想. 用函数观点处理实际问题时，关键在于分析实际情境，建立函数模型，将实际问题数学化，利用数学知识重新解释“是什么”和“为什么”来求解模型，最终尝试基于实际背景验证模型和完善模型，逐步形成解决实际问题的能力.

四、拓展研究

【评析】拓展1的两种解法分别从“数”和“形”两个角度解释了甲水池的水量始终比乙水池水量多900 m3，也就是题目的第（2）小题. 算术方法质朴易思考，而图象方法自然简洁，往往会使抽象问题直观化、复杂问题简单化，达到优化解题途径的目的.

五、教学启示

1. 建立模型观念，注重数学化能力的培养，重在“真”

初中阶段学生的思维正处于形象思维向逻辑思维过渡的时期，将实际问题抽象成数学问题对学生有一定的难度. 例如，将注水问题抽象成数学问题（甲、乙水池注水时间差t与每分钟向甲水池注水量a之间的关系），教师如何组织学生经历数学化的过程促进学生模型观念的建立，无疑是数学教学中的重要课题. 教师需要在“真”上下功夫，通过真实情境和真实问题，给学生提供充分的自主探究与合作交流的机会，引导学生动口、动脑，经历真思考，培养学生的数学抽象能力.

2. 强化应用意识，重视一次函数概念和本质的理解，意在“深”

3. 关注思维发展，引导学生一题多解和多解归一，贵在“广”

一题多解、多解归一是促进学生思维发展的好方法. 一题多解是从不同的角度、用多种方法、运用多种思考方式解决同一问题，思维是发散式的，体现其广度. 在第（3）小题求a的值时，可以用算术、方程和一次函数模型等方法求解，从“数”与“形”的角度多途径思考. 如图11，在利用一次函数解决实际问题时，可以追求方法多样，通过对多个解法的思考，促进学生对数学知识之间逻辑关系的理解，有助于学生把理解的知识和形成的基本技能迁移到新的问题情境中，积累数学活动经验.

多解归一是选择最优化的方法解答问题，思维呈聚合式. 例如，拓展2是探求变量t（甲、乙水池注满水的时间差）与变量a（每分钟向甲水池注水的量）之间的关系，在一题多解之后思考多解归一，可以促进学生在潜移默化中提升解题思维，形成解题策略.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］史宁中，曹一鸣.《义务教育数学课程标准（2022年版）》解读［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.