基于范希尔理论的几何题评讲

汪晶晶

摘  要：通过分析某次八年级期中测试中的一道几何题及学生的答题情况，发现学生的思维弱点，然后依据范希尔理论进行教学，使不同几何思维水平的学生得到不同的发展，为学生逐步形成数学的一般观念奠定基础.

关键词：范希尔理论；几何思维水平；试题评讲

范希尔理论是几何教学研究中最有影响的理论之一，它是由荷兰中学数学教师范希尔夫妇研究而提出的，其核心内容有两个：一是几何思维的五个水平；二是与之对应的五个教学阶段，即“学前咨询—引导定向—阐明—自由定向—整合”. 范希尔理论的应用比较广泛，不仅可以用于几何思维水平的评估、数学课程的编制及不同教材比较研究的理论框架，还可以用于教学活动的设计. 學生思维水平进阶（即从一个水平到下一个水平的发展）的五个教学阶段为我们提供了一种几何教学模式.

在一次八年级下学期的期中测试中，得分率最低的不是最后一道综合题，反而是倒数第三题. 这种“反常”现象引起了笔者的关注. 大数据显示，共3 396名学生参加此次测试. 题目满分为9分，平均分为1.96分，得分率为21.79%，满分率为6.42%，零分率为58.57%，难度系数为0.22. 这背后的原因究竟是什么？我们应该如何改进教学？笔者通过查阅学生的答题卡，以及对部分学生进行访谈，分析原因，了解学生的几何思维水平，并依据范希尔理论进行教学实践.

一、题目及学生答题情况分析

1. 题目分析

题目  如图1，已知正方形ABCD的边长为8，连接AC，BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E.

（1）求DE的长；

（2）如图2，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求AF的长.

这是一道几何综合题，考查正方形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，同时考查了求线段长度、证明线段相等的方法，蕴含了数形结合、方程、化归等思想.

2. 学生答题情况分析

在此次测试之前，学生已经学习了三角形和平行四边形的有关知识，并且掌握了三角形和平行四边形中的重要定理，知道平行四边形问题通常可以转化为三角形问题进行解决.

笔者对所教两个班级的部分学生进行访谈，总结出学生没有得分的情况有三种：第一种是读完题目感觉太难就放弃了；第二种是读完题目思考一段时间，没有任何思路，于是暂时放弃，继续做后面的题，若有时间再返回来做此题，然而考试时间有限，后面没有时间继续思考此题；第三种是读完题目觉得要添加辅助线，但不知道如何添加. 其中，第三种情况的学生不在少数. 而且，由统计结果发现，对于第（1）小题，作辅助线的人数远远超过没有作辅助线的人数. 可见，很多学生在遇到较难的几何题时，第一反应是作辅助线，至于为什么要作辅助线，如何作辅助线，却没有思考. 这说明学生在遇到新的几何问题时，更多的是尝试，解题目标不明确，思路不够清晰，不知道思考的出发点在哪里，应该按照怎样的顺序和步骤去思考. 由此可见，学生的几何思维水平有待提升.

二、题目评讲

在了解学生思维的薄弱点后，笔者依据范希尔理论对此题的教学进行设计，明晰学生几何思维发展的次序，帮助学生有序思考问题，提升几何思维水平. 以下详细介绍在A班对此题第（1）小题评讲的教学过程.

阶段1：学前咨询.

师：直观观察图1，可以发现此图中有哪些我们熟悉的特殊几何图形？

生：正方形ABCD，等腰直角三角形，Rt△COE.

师：还有吗？

生1：△BCE好像是等腰三角形.

师：对，直观上可以看出△BCE是等腰三角形.

【评析】在此阶段，学生对几何图形进行整体识别和直观描述，从而对几何图形有了初步的认识. 教师引导学生从整体上认识图形，观察其中有哪些特殊的几何图形，初步感受图形之间的联系，并在思维中形成视觉表象，为下一阶段的学习作准备.

阶段2：引导定向.

师：对于求线段DE的长，你能想到什么方法？

生2：我想到DE = BD - BE. 因为BD是正方形ABCD的对角线，可以求得BD的长为[82]，只要求出BE的长就可以了. 接下来如果能够证明△BCE是等腰三角形，那么BE = BC，就可以求出DE的长了.（方法1.）

师：很好！还有其他不同的想法吗？

生3：如图3，过点E作EF⊥CD于点F.

师：你是怎么想到作这条辅助线的？

生3：因为∠CDE = 45°，所以想到以DE为斜边构造等腰直角三角形. 已知CE是∠ACD的平分线，根据角平分线的性质——角平分线上的点到角两边的距离相等，并且已经有EO⊥AC，所以过点E作角的另一边的垂线段.（方法2.）

师：生3的思路非常清晰，有理有据. 我们可以构造等腰直角三角形DEF来直接求DE的长，尤其注意到这条辅助线不是突然从大脑里蹦出来的，而是联系已知和未知分析得出的.

【评析】在此阶段，教师通过问题引导学生找到思考的方向，逐渐熟悉这一图形结构的特性. 教师引导学生“直奔”目标，思考求线段长度的方法，即可以直接求或者转化为其他线段的和或差，结合已知分析问题，架构起从已知通向未知的桥梁. 傅种孙先生在《高中平面几何教科书》序言中写道：“几何之务，不在知其然而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然.”几何教学中，教师只有引导学生思考“何由以知其所以然”，才能真正地“教思维”，提升学生的几何思维水平.

【评析】学生通过前面的经验积累和教师最低程度的提示，明确了解决问题的方向，大胆表达自己的想法，开始厘清图形的位置关系和数量关系. 数学推理是数学三个基本思想之一，是得到数学命题或者验证数学命题的思维过程，包含归纳推理和演绎推理两种形式. 对于数学论证而言，归纳推理是为了得到结论的推理，演绎推理是为了证明结论的推理，这两种推理的有机结合构建了数学的严谨性. 经过前面两个阶段的观察、猜想、分析，学生主要是进行归纳推理. 在此阶段，教师引导学生梳理思路，计算并进行演绎推理，形成特殊角及特殊边之间的相互联系与转化，得出结论.

【评析】在此阶段，学生遇到了更复杂或多种解决问题的方法，在寻找方法和解决问题的过程中获得了经验，并明确了学习对象之间的关系. 教师引导学生从特殊到一般，得出结论：若正方形边长为a，则[DE=2a-a]. 学生初步建立模型观念，如图6，在等腰直角三角形OCD中，CE平分∠OCD，则[DE=2CD-][CD]. 解决变式问题时，学生可以识别或构造模型，直接得出结论[AF=2AC-AC，DG=2DE-][DE]. 通过变式训练，培养学生多角度思考问题的能力和整体观，促进学生对问题更深层次的理解.

【评析】学生畅所欲言、分享交流，教师帮助学生内化知识，明晰思考问题的一般顺序，优化和发展学生的数学认知结构，提升思维水平.

第（2）小题的教学过程与第（1）小题类似，也是依据范希尔理论，经历五个教学阶段，在此不再赘述.

三、课后反馈

笔者设计了如下问题要求学生在课后解决.

如图8，已知菱形ABCD的边长为[a]，∠ABC = 60°，连接AC，BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，

（1）求DE的长；

（2）如图9，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求AF的长；

（3）如图10，过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长.

【评析】此题将题目中的正方形变为含有60°角的菱形，虽然图形变了，但是图形的对称性没有变，角和边的特殊性没有变. 解决第（1）小题的方法可以由原题第（1）小题的方法迁移得来. 解决第（2）小题时，课堂上用到的方法不能完全迁移，方法1在这里是不适用的，但是可以用相似的知识解决，方法2可以迁移到这里. 第（3）小题是在第（2）小题基础上的变式，考查学生思维的灵活性.

四、教学反思

1. 范希尔理论具有分层教学的价值，使不同几何思维水平的学生得到不同的发展

初中阶段实行均衡分班，然而班级学生的几何思维水平呈现差异性. 如果学生的思维和教师的教学不处于同一个水平，那么就不可能取得预期的教学效果. 学生的思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的水平顺利发展，必须掌握前一个水平的各个概念和策略. 笔者依据范希尔理论，按照“学前咨询—引导定向—阐明—自由定向—整合”五个阶段进行教学，帮助学生建构学习环境，提高教学效率. 这五个阶段的教学层层递进，环环相扣，分别对应范希尔理论的五个思维水平，所有学生都至少能够达到第一个水平. 本节课的教学起点较低，每位学生都能在原有的思维水平上“跳一跳”，向更高的思维水平上发展.

2. 范希尔理论具有培养学生直觉思维、创造性思维和推理论证能力的教学价值

一般地，平面几何分为直观几何、实驗几何和论证几何三个阶段. 直观几何和实验几何特别关注学生的几何活动经验和积累，以及几何直观的发展，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重要作用. 直观几何、实验几何是学习推理论证几何的必要前提，具有论证几何无法取代的教育作用和价值. 然而，在几何教学中，不少教师忽视了直观几何和实验几何的价值，甚至跳过前两个阶段，直接到论证几何阶段. 这看似节省了时间，其实不利于学生几何思维水平的发展. 从学生的答题情况可以发现，不少学生没有仔细观察图中的特殊图形，错过直观猜想“△BCE是等腰三角形”的时机. 范希尔理论的五个教学阶段中，在学前咨询阶段和引导定向阶段，教师要先引导学生观察图中的特殊图形，并大胆猜想结论，经历直观几何和实验几何，再培养学生的直觉思维和创造性思维. 在阐明和自由定向阶段，教师引导学生进行演绎推理，培养学生的推理能力.

3. 范希尔理论有助于学生有序探究几何问题，为逐步形成数学的一般观念奠定基础

有些学生之所以畏惧几何，就是因为在做几何题时目标不明确，思路不够清晰，因而在学习几何时自信心不足. 依据范希尔理论教学，学生能明晰解决几何问题的五个步骤，掌握有序思考几何问题的方法，不仅能够提升学习几何的信心，而且今后能够自己独立研究几何问题，逐步形成解决数学问题的一般观念，这也是教师教学追求的终极目标.

参考文献：

［1］鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程［M］. 上海：上海教育出版社，2009.

［2］章建跃. 学会用数学的方式解读内容设计教学：以“相交线”为例［J］. 数学通报，2019，58（1）：8-12，15.

［3］史宁中. 数学基本思想18讲［M］. 北京：北京师范大学出版社，2015.

［4］孔凡哲，史亮. 几何课程设计方式的比较分析：直观几何、实验几何与综合几何课程设计的国际比较［J］. 数学通报，2006（10）：7-11.

［5］李坤丽，胡典顺. 基于范希尔几何水平理论“直线斜率”的教学设计［J］. 数学通讯，2019（18）：26-29，35.