关于Ostrowski-Grüss 型不等式的注记

时统业，曾志红，曹俊飞

（1.海军指挥学院，江苏 南京 211800；2.广东第二师范学院学报编辑部，广东 广州 510303；3.广东第二师范学院数学学院，广东 广州 510303）

1 引 言

Grüss 不等式[1]296和Ostrowski 不等式[2]是两个经典的积分不等式，在数值积分、概率与优化理论、随机分析、积分算子理论等方面有着广泛应用.Ostrowski 不等式是利用一阶导数的界给出函数值与函数平均值的差的估计.Grüss 不等式利用函数的上界和下界给出Chebychev 泛函的估计.学者们通过使用Grüss 不等式和Ostrowski 不等式得到许多新的结果.Dragomir 和Wang[3]使用Grüss 不等式率先建立了Ostrowski-Grüss 型不等式，我们从中获得启示：利用关于Chebychev 泛函的恒等式和不等式，可以建立在不同条件下的Ostrowski-Grüss 型不等式.本文利用预Grüss 不等式和引入参数求最值的方法，给出Dragomir 等[4]建立的一个Ostrowski-Grüss 型不等式的加细.本文还建立了一个新的关于Chebychev 泛函的不等式，并给出其应用.

设函数f、g 和fg 在[a，b]上可积，Chebychev 泛函定义为

1935 年，Grüss[1]296证明了

其中f 和g 在[a，b]上可积，γ1≤f≤Γ1，γ2≤g≤Γ2.

Mati 等[5]证明了

Cerone 和Dragomir[6]称式（1）为预Grüss 不等式.从Grüss 不等式的证明过程可知有

1938 年，Ostrowski[2]证明了著名的积分不等式

其中f 是[a，b]上的可微函数，对任意x∈[a，b]有

为方便起见，在下文中记

1997 年，Dragomir 和Wang[3]利用Montgomery 恒等式[1]565

和Grüss 不等式首次建立了Ostrowski-Grüss 型不等式

其中函数f 在[a，b]上可微，且γ≤f′≤Γ，f′∈L1[a，b].式（4）包含一阶导数f′的上界和下界，这比包含函数的上界更精确.

其中f 在[a，b]上n 阶可微，且γ≤f(n)≤Γ，f(n)∈L1[a，b]，

针对在[a，b]绝对连续且导函数属于L2[a，b]的函数，Barnett 等[9]使用Korkine 恒等式和Cauchy-Bunaikowski-Schwartz 不等式以及式（2），又改进了Mati 等的结果，得到

另外，2001 年，Cheng[10]将式（4）中的改进为，还证明了若γ≤f′≤Γ 则有

文献[11-12]给出式（7）的推广和加强.

Zafar 和Mir[13]使用Korkine 恒等式和Cauchy-Bunaikowski-Schwartz 不等式推广了式（6），得到带有1 个参数的Ostrowski-Grüss 不等式.在特殊情况下得到

Liu[14]利用Dragomir[4]建立的积分恒等式和Sonin 恒等式以及Cauchy-Bunaikowski-Schwartz 不等式证明了对任意有

Dragomir 等[4]利用积分恒等式

和Korkine 恒等式以及Cauchy-Bunaikowski-Schwartz 不等式推广了式（9），给出Ostrowski-Grüss 型不等式：

其中

在特殊情况下由式（10）也得到式（8）.

本文建立两个Ostrowski 型不等式，作为特例，将式（8）中的改进为

本文还得到

其中的界比Zafar 和Mir[13]得到的梯形不等式、中点不等式、平均中点和梯形不等式以及Simpson 不等式的变式中的界都要小.为了证明主要结果，我们需要下面引理.

引理1 设h 和h2是[a，b]上的可积函数，则对任意x∈（a，b）有

T（h，h）≥P2（h；x），

证明 只要注意到

引理即可得证.

下面的引理2 给出预Grüss 不等式（3）的加细.

引理2 设h、h2、g、g2和hg 是[a，b]上的可积函数，则对任意x∈（a，b）有

证明 当T（g，g）＝P2（g；x）时，利用引理1 有

故式（12）成立.下面假设T（g，g）＞P2（g；x）.

利用式（3）有

因为

其中Th（x）＝T（h，h）－P2（h；x），将式（14）、（15）代入式（13）得

其中

为求φ（η）的最小值，求导得

用（－h）替代式（17）中的h 得

由式（17）和式（18）知式（12）成立.

推论1 设h、h2、g、g2和hg 是[a，b]上的可积函数，则对任意x∈（a，b）有

推论2 设h、h2、g、g2和hg 是[a，b]上的可积函数，且g 关于对称，则有

2 主要结果

定理1 设函数f 在[a，b]上绝对连续，且f′∈L2[a，b]，∈[0，1]，则对任意有

其中V 如式（11）所定义，

证明 对任意常数ε，定义函数

利用式（3）得

因为

其中η＝ε－v（x）.综合式（20）-（24），对任意常数η 有

φ′（η）＝0 有唯一解η1＝－则φ（η）在η＝η1处有最小值在式（25）中取η＝η1得

综合式（26）和式（27），则式（19）得证.

注2 比较式（19）和式（10），显然式（19）的右边小于或等于式（10）的右边.

推论3 设函数f 在[a，b]上绝对连续，且f′∈L2[a，b]，∈[0，1]，v（x）、T、L 如定理1所定义，V 如式（11）所定义.若γ≤f′≤Γ，则对任意有

证明 利用绝对值的三角不等式，由式（19）即可得到式（28）的左边不等式.由乘积型Minkowski 不等式知式（28）的右边不等式成立.

利用式（2）有

由定理1，式（29）成立.

推论4 设函数f 在[a，b]上绝对连续，且f′∈L2[a，b].T 如定理1 所定义，则对任意有

特别地，若取x＝a，则得平均中点和梯形不等式：

式（30）强于式（8）（文献[13]推论1 中的不等式（2.10））.

推论5 设函数f 在[a，b]上绝对连续，且f′∈L2[a，b].T 如定理1 所定义，则对任意有

定理2 设f:[a，b]→R，f(n－1)在[a，b]上绝对连续，且f(n)∈L2[a，b]，则有

其中

推论6 设函数f 在[a，b]上绝对连续，且f′∈L2[a，b]，则对任意x∈（a，b），有

其中

证明 在定理2 中取n＝1 即可得证.

定理3 设f 是[a，b]上的绝对连续函数，且f′∈L2[a，b].a≤c＜d≤b.则有

证明 定义核

由文献[16]中的引理3 和定理2.4 有

经计算可得

在引理2 中取h（t）＝Kc，d（t），g（t）＝f′（t），则式（32）得证.

注5 在定理3 中取c＝x，d→x，可得式（31）.