圆锥曲线的又一奇妙性质

湖南省浏阳市长郡浏阳实验学校 (410329) 李剖华

受文[1]启发,笔者最近探得了圆锥曲线的过顶点且互相垂直的两弦的一个统一性质,现以定理形式介绍如下:

图1

(2)证明见文[2]．

图2

(2)证明见文[2]．

证明过程可类比定理2给出,本文不再赘述．

定理4 如图4,点M、N分别是抛物线y2=2px上不同于顶点O的两点,且满足NO⊥MO,则(1)直线MO与过点N且与x轴平行的直线m的交点R在定直线l:x=-2p上;

图4

(2)直线MN过定点Q(2p,0).

(2)证明见文[2]．

由于x轴正方向无穷远处可视为抛物线另一虚拟的顶点,过点N平行于x轴的直线m可视为过点N和抛物线(虚拟)顶点的一条直线,因此,定理1～4是关于圆锥曲线的一个统一的性质,可叙述为:

设A1、A2是圆锥曲线C在同一条对称轴上的两个顶点(若曲线C为抛物线,则A2是其对称轴上无穷远处(虚拟)的顶点),M、N是曲线C上异于A1、A2的两点,且MA1⊥NA1,则

(1)直线MA2与直线NA1的交点R在与A1A2垂直的一条定直线上;

(2)直线MN与直线A1A2的交点是定点．