品味高考试题中平面向量的“交汇性”

湖北省襄阳市第一中学 (441000) 杜晓霞 王 勇

平面向量作为高中数学的重要内容,它不仅具有强大的工具性,还具有很强的交汇性.高考命题专家抓住向量的这些特性,将它与平面几何、三角、函数、逻辑用语、解析几何、不等式、立体几何等重要内容交汇,命制了众多好题,旨在考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.下面以近两年高考真题为例,探究和品味平面向量的“交汇性”.

1.与平面几何交汇

图1

点评:本题以单位圆及其内接正八边形为载体,考查正八边形的性质、平面向量的加法运算及数量积运算,考查数形结合思想,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

2.与三角交汇

A.[-5,3]B.[-3,5]

C.[-6,4]D.[-4,6]

点评:本题考查平面向量的坐标表示、平面向量的数量积运算、三角恒等变换,考查数形结合思想、转化与化归思想、体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

3.与函数交汇

图3

图4

点评:本题主要考查平面向量的模及数量积运算,穿插考查平面向量的坐标运算及二次函数的最值.考查的关键能力是运算求解能力、逻辑思维能力和数学建模能力.考查的学科素养是理性思维和数学探索.

4.与逻辑用语交汇

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

点评:本题主要考查充分条件、必要条件的判断及平面向量数量积的性质.

5.与解析几何交汇

图5

6.与不等式交汇

图6

7.与立体几何交汇

A.当λ=1时,ΔAB1P的周长为定值

B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值

图7

图8

图9

图10

点评:本题是用平面向量“包装”的立体几何多选题,对平面向量和立体几何的相关知识考查充分,对考生的学科素养和关键能力要求极高,是一道难得的创新题.