循主线问题 促素养提升——兼评《多边形的内角和》一课

文|仇学春

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）明确指出：“数学课程要培养学生的核心素养，包括会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界（简称“三会”）。”“三会”是总目标、长远目标，“四基”与“四能”是形成核心素养的载体；同时素养形成能促进“四基”“四能”的发展。因此我们要把培养学生的问题意识放在首位，以发现并提出问题为起点，以分析并解决问题为过程，以反思并产生新问题为新的出发点。主线问题是一种将目标、问题、活动、思维调适到恰当高度的教学，是一种以儿童的现实水平作起点，以儿童学习进阶为方向的适切教学。

《多边形的内角和》是一节探索规律的课，通过观察、操作、归纳、类比等具体活动，探索并发现多边形的内角和与边数之间的关系，并用学生自己能理解的方式表示所发现的规律，运用不同方式刻画规律的模型。在教学中怎样变教师问为学生问？什么样的问题能把学生对现实素材的兴趣转移到对规律的关注上面？怎样利用问题激活学生已有的活动经验，从探索规律走向模型建构？真正做到因“问”而“学”，“问”从“思”来，“问”“学”交融。

刘萍萍老师的《用问题引导 促规律探索》（以下简称设计一）和王守建老师的《问题导学：从探索规律走向模型建构》（以下简称设计二）为我们带来一些启发和思考。

一、以疑促问，问题引领学习

思维自疑问和惊奇开始，问题是思维的起点，只有有了问题，学生才会去思考、钻研、探索与反思。可见数学学习始于问题，问题是学生学习的生长点，只有问题才能把学生的思维引向深入。布鲁姆按认知方式的高低将问题分为：知识性问题、理解性问题、应用性问题、分析性问题、综合性问题和评价性问题。基于此，我们在教学中可以按照“是什么？”“为什么？”“怎么办？”“为什么可以这样？”“还可以怎样？”“这些办法哪个更好？”等问题顺序分阶段培养学生提问的能力。

1.看旧知提问

新知识是在旧知识处生长起来的，新知识往往是旧知识的延伸和发展，又是后续知识的基础。多边形的内角和是在三角形内角和的基础上教学的。设计一中，刘老师在复习时提出了一个问题：“知道了三角形的内角和是180°，你能想到什么问题呢？”学生提出了几个问题：“四边形、五边形、六边形的内角和是多少？多边形的内角和有没有什么规律？多边形的内角和是怎样计算的……”学生从旧知中自主发现问题，启迪思维。

2.看课题提问

课题往往揭示了教学重点内容，围绕课题提问，有利于让学生明确学习目标，激活学生学习的内驱力，让学生带着问题主动探究。设计二中，王老师在课始提出：“同学们，看到课题，你有什么疑问？”于是学生纷纷提出问题：“什么是多边形的内角和？怎么计算多边形的内角和？多边形的内角和与三角形的内角和有关系吗？怎样探究多边形的内角和？”运用学生提出的问题引领新知的学习。

3.探究中提问

“主线问题”特别关注学生探究问题的情感态度，以积极的情感与态度推动问题思考的不断深入，实现认知与情感的良性互动。设计一中，刘老师结合一个学生把四边形分成两个三角形时问学生“听明白了吗？有什么疑问？”学生提出了“明明是两个三角形的内角和，为什么又是四边形的内角和？”一个很有价值的问题，正是这个问题加深了方法的理解。设计二中，王老师在学生分四边形出现了三种分法时，引导学生提出：“这几种方法之间有什么相同和不同之处？”就这样在讨论中优化了解决问题的方法。

二、因问而学，任务驱动思考

真正的学习是从学生发现和提出问题开始的，不断产生问题也成为学习的动力。主线问题是以学生问题为起点、学科问题为基础、教师问题为引导的一个问题系统（如下表）。

学生问题学生提出的问题（预估起点）学生难点问题预估（学习难点）学科基本问题（核心问题）学科重点问题（探究问题）教师问题 教师引导性问题（阶段关键问题）学科问题

如何形成“多边形的内角和”主线问题呢？在学生提出“什么是多边形的内角和？怎么计算多边形的内角和？多边形的内角和与三角形的内角和有关系吗？怎样探究多边形的内角和？”等诸多问题时，围绕学生的问题进行排序、细化，通过归纳整理，从而梳理出“多边形的内角和有什么规律？”这一核心问题，带领学生围绕此核心问题展开学习。

两位教师根据核心问题设计了不同的任务，驱动学生独立思考，将不同的想法关联起来，与同学、老师分享想法，促使自己生成新的想法。这样的思维过程从平衡到失衡，再形成新的平衡，从而深度建构对新学内容的理解。

1.研究性任务，寻找探索规律的方向

儿童带着研究的视角和眼光，以一系列富含“研究”意蕴的问题为抓手，开展自主、合作、重在探索与发现的研究性任务。联系已有的数学活动经验，选择并开展探索活动，寻找探索多边形内角和规律的方向。

设计一中，刘老师把四边形内角和的探索完全交给学生，学生根据经验通过量一量、拼一拼、分一分等不同方法得到四边形内角和，而多种方法的“优”与“劣”是学生在真实的经历中感悟的，学生体会到测量法有误差、撕拼法比较费时间，于是自主优化，在五边形内角和的探索中，自觉采用了分割成几个三角形后计算的方法。

设计二中，王老师直接把四边形的内角和设计成探索性任务，从四边形顶点处分割成两个三角形，从四边形边上取一点分割成三个三角形，从四边形中间选一点分割成四个三角形，引导学生围绕“这几种方法之间有什么相同和不同之处？”找到内在的联系：结果都是“180°×2”。

2.创造性任务，展示表征规律的方式

创造性任务是一种创造力强、探究度大、信息量足、应用味浓的学习活动。任务的完成或需要综合运用已有的知识模块，或需要借助丰富的生活背景，或需要突破固有的思维框架。两位教师在概括多边形内角和的规律时，引导学生经历计算、观察、归纳等过程，让学生用一个式子表示多边形内角和的计算方法，多边形的内角和可以写成“180°×（边数－2）”，也可以写成“180°×边数－360°”和“180°×（边数-1）-180°”。让学生运用多种方式表征规律，发现计算多边形内角和的基本方法，获得一般性的规律，从而加深对多边形内角和规律的理解。

3.表达性任务，解释规律产生的道理

“数学表达”指的是学生针对数学活动进行的解释、表征，用于交流思维的过程与结果，实现解决问题的目标。数学表达强调了对于核心问题的追踪与聚焦，强调了个体参与的深入，展示了学生的思维个性。

设计一中，刘老师进行了两次比较，第一次比较180°×（边数－2）=180°×边数-180°×2=180°×边数-360°，让学生发现多边形中间任一点出发分割的方法总是多出一个周角，所以要减去360°，才是多边形的内角和。第二次比较180°×（边数-1）-180°=180°×边数-360°=180°×（边数-2）。体验还可以从“多边形的顶点个数”“从任意一个顶点到它相对顶点连线分的次数”来探究多边形内角和。引导学生通过对有序排列的数据进行观察和比较，在交流中，逐步抽象概括出多边形的内角和的一般计算方法，帮助学生进一步体会探究的意义和推理的价值。

设计二中，王老师提出了为什么三角形的个数比边数少2，引导学生结合图形体会与某个顶点相对的边都对应一个分出的三角形，使学生从不同角度理解“边数-2”的道理，知其然，亦知其所以然。

三、问学交融，提升核心素养

问题是学生学习的目标、动力和途径，在学生的数学学习过程中，问学交融，引领学生不断提出新问题显得尤为重要。我们的教学从老问题开始，引出新问题，在解决新问题时又进一步让学生碰到疑难题，再在解决疑难题中发现新问题。两位教师的教学设计以核心素养为指导，以问题为引领，聚焦核心概念，探索多边形的内角和的规律，从而提升学生的数学核心素养。

1.问题引领，培养数学眼光

2022年版课标指出：“能够在实际情境中发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究。”两位教师都是以问题开始，以问题结束，整节课都是用问题引领学习。如刘老师用“多边形的内角和有没有什么规律？”“怎么想到把四边形分成两个三角形的？”“观察表格，你有什么发现？”“根据‘多边形内角和=180°×（边数-2）’这个规律，你能提出什么问题？”等问题引领教学。如王老师提出“我们已经探究了三角形的内角和是180°，请大家猜一猜，四边形、五边形……的内角和分别是多少？它们又与什么有关系？”“分成三角形的个数为什么总比多边形的边数少2 呢？”等问题，课尾引导学生提出新问题：“多边形有内角，有没有外角？如果有，它的外角和又是多少？”用有内在联系的问题引领教学的全过程，激发学生产生探索多边形内角和的学习需求，培养学生数学的眼光。

2.合情推理，培养数学思维

2022年版课标中指出：“在义务教育阶段，数学思维主要表现为：运算能力、推理意识或推理能力。”“多边形的内角和”规律探寻能够发展学生的数学思维，有利于改变“重演绎、轻归纳”的倾向。合情推理主要指不完全归纳推理和类比推理，这些推理的结论具有或然性。科学结论往往发端于合情推理所提出的猜想，再由演绎推理论证其是否正确。两位教师都是通过重点研究四边形的内角和，分割成两个三角形；放手研究五边形到八边形的内角和，依次分割成三个、四个、五个、六个三角形；最后概括出多边形的内角和的规律180°×（n-2），通过不完全归纳的方法体验“个数比边数少2”的道理，从而发展推理能力，培养数学思维。

3.模型建构，培养数学语言

2022年版课标中指出：“在义务教育阶段，数学语言主要表现为：数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。”“多边形的内角和”在探索规律时，反映的是在动态变化过程中变量与变量之间始终存在一种普遍、稳固、必然的联系，这种关系就是数学模型。两位教师都是经过对四边形、五边形、其他多边形内角和的探索，最后通过乘法分配律沟通课堂中出现的多种分割方法之间的联系，学生深刻体会到分割方法的多样性和数学结论的一般性，建构出多边形内角和的规律模型“180°×（n－2）”。

由此可见，主线问题教学，是一种把数学知识和儿童经验螺旋上升为结构化知识和结构化思维的教学；是一种以儿童的现实水平作起点，以儿童未来的可能发展水平为方向的适切的数学教学。