探索压轴题创新解法的教学设计

【摘 要】 数学解题教学是数学教学中的一项非常重要的内容.最为理想的数学解题教学应该实现这样的结果：对于探究解题思路的某些非常疑难的环节，学生萌生操作行为指令的数学观念，虽然是在教师的启发或鼓励下实现的，但是教师需要通过教学技巧，促使学生认为教师对于解题思路的发现没有起到多少作用，而是他们自己想出来的.文章以2022年全国数学高考甲卷压轴题为例，加以必要说明.

【关键词】 数学高考；压轴题；解题教学；教学设计

以函数知识为背景的高考压轴题总是以函数的单调性、极值（包括最大值与最小值）、函数零点与不等式相结合等知识点为背景材料.在探究解题思路时，需要通过分析函数解析式或所要求解的问题特点，启发学生萌生指令自己操作行为的数学观念，重新构造一个新函数解析式，从而运用求函数的导函数来探究解题思路.这就要求考生与指导学生复习的教师认识到，依据问题及其解题环节的具体特点，考虑选择函数解析式的形式，从中设出合适的新函数解析式，大多数情况下，能够达到化难为易、化繁为简的目的.

在平时的教学中，对于以函数知识为背景的高考压轴题，绝大部分老师都会帮助学生总结出“三对矛盾”：其一，自变量与函数的矛盾；其二，一元与二（多）元的矛盾；其三，常量与变量的矛盾.根据问题条件与结论不同的具体特点，基于这“三对矛盾”与其他知识点（例如，不等式及其证明中所使用的“作差”“作商”與“放大或缩小不等号所连结的一边”等具体方法）相结合，选择其中的一对矛盾作为指令操作具体信息的数学观念，就可以启动探究解题思路的思维活动，再遇到相对疑难的环节时，还是要使用“三对矛盾”中的某对矛盾作为指令，才能萌生出突破这个疑难环节的数学观念［1］.

为了说明帮助学生寻找“三对矛盾”中的一对合适矛盾所形成的操作信息的行为指令，从而圆满地获得具体压轴题的解题思路，下面实录笔者启发学生探究2022年甲卷压轴题解题思路的教学设计及课堂实施活动，并加以必要说明.

例1 （2022年全国甲卷理科·题21）已知函数f（x）=exx－lnx+x－a.

（1）f（x）≥0在定义域上恒成立，求a的取值范围；

（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求证x1x2<1.

对于问题（1）的教学设计及其课堂实施实录：

师：记函数f（x）=exx－lnx+x－a为①，则容易知道，函数①的定义域为x∈（0，+∞）.函数解析式①具有怎样的特点呢？

生1：观察函数①的解析式特点发现，利用对数运算的基本性质，函数①的解析式可以变形为f（x）=exx+lnexx－a②的形式.于是，设函数g（t）=t+lnt－a③，t∈（1+∞），知g′（t）=1+1t>0，由函数③单增，从而g（t）>g（0），但是g（0）没有意义，……（省略号表示学生思维暂时中断，下同）

师：生1看到了函数式①的项与项之间的关联形式，获得了函数式②，这是非常了不起的.但是，其后述的运算错在了什么地方？

生2：对于函数式③的自变量t的定义域判断成t∈（1+∞）而产生了错误.其实函数解析式③中的t=exx，可以看作是自变量为x且定义域为x∈（0，+∞）的函数，即t（x）=exx，于是t′（x）=xex－exx2=exx－1x2，因此当x∈（0，1）时，t（x）单减，当x∈（1，+∞）时，t（x）单增，从而知t（x）≥t（1）=e，即函数③的定义域为t∈［e，+∞），而g′（t）=1+1t>0，知函数式③单增，所以g（t）≥g（e）=1+e－a，即f（x）≥1+e－a，而f（x）≥0，知1+e－a≥0，知a≤1+e.

注 一方面，在探究解答问题（1）的过程中，获得了已知函数①表达式的一种新的形式，即函数解析式③.在这里，需要学生养成关于更换自变量后，其相应的函数定义域也对应地进行改变这种数学观念，否则不利于后面解题环节的实现，生1由于没有意识到这一点，致使解答过程无以为继，或者出现解题环节或结论中的错误.另一方面，函数解析式③及其定义域t∈［e，+∞）的确定，将有利于探究问题（2）证明不等式x1x2<1的思路，以及在简化运算的环节中起到重要的作用.数学教师在源于问题（2）教学设计及课堂实施中，仔细思考如何发挥函数解析式③的作用.

对于问题（2）的教学设计及其课堂实施实录：

师：如何探究问题（2）关于不等式x1x2<1的证明思路？

生3：我想采用分析法探究这个问题的思路，仔细考虑“若函数f（x）有两个零点x1，x2，求证x1x2<1”的内涵，记不等式x1x2<1为④.过去探究证明不等式思路的经验引导我产生了这样的一种想法：由于不等号所连结的两边具有对等性，我想将不等式④的右边转化为含有自变量x1，x2的某个代数表达式的形式（因为，不等式④的左边无法转化为一个具体的常数——笔者注）.经由试探，将不等式④变形为x1<1x2（如此，达到了不等号所连结的两边都是变量，即实现了对等性的目的——笔者注），然后利用函数式①的单调性，寻找比较函数值f（x1）与函数值f1x2的大小（由“自变量与函数的矛盾”，将比较函数的两个自变量大小，转化为比较这两个自变量对应的函数值的大小——笔者注）.但是我发现，如果通过这个环节，我们很难利用函数式②，或函数式③这种非常良好的解析式形式，所以不应该选择这条解题通道.

师：生3分析的结果很有道理，但是需要足够的耐心进行试探，这种解法也是能够达到目的的，只是可以预料环节比较复杂.那么，我们如果通过使用函数式②，或函数式③来达到证明不等式④的目的呢？

生4：对于不等式④的形式，利用不等号所连结的两边具有对等性的数学观念，我通过函数式②，或函数式③及其相关条件，希望直接将不等式④的右边常量1，转化为含有变量x1，x2所表达成的代数式形式.据此想法，展开相应的操作检验活动过程，由于x1，x2是函数f（x）的两个不同的零点，于是，不失一般性，可设0<x1<x2，由函数解析式②，或者函数解析式③的形式能够知道，f（x1）=ex1x1+lnex1x1－a=0，f（x2）=ex2x2+lnex2x2－a=0，得ex1x1+lnex1x1－a=ex2x2+lnex2x2－a⑤，得ex1x1=ex2x2⑥，得ex2－x1=x2x1，因为0<x1<x2，知x2－x1=lnx2x1，得x2－x1lnx2x1=1⑦.由④⑦，知期待证明不等式x1x2<x2－x1lnx2x1⑧成立（据此认识到，生4的想法得到了技术中的具体实现——笔者注），即需要证明lnx2x1<x2－x1x1x2⑨成立.但有些可惜的是，我目前还没有找到证明不等式⑨的有效方法.

师：生4的想法非常好.但是还存在瑕疵，在这些论证过程的环节中，从等式⑤过渡到等式⑥存在逻辑上的问题；还有一点，在证明不等式⑨时出现了疑难，那就必须要分析不等式⑨的具体特点.那么首先如何弥补从等式⑤过渡到等式⑥所存在的逻辑漏洞呢？

生5：记t1=ex1x1，t2=ex2x2，由函数式g（t）=t+lnt－a③，t1，t2是函数③的两个自变量，且t1，t2∈［e，+∞），由生4的分析结论，知f（x1）=ex1x1+lnex1x1－a=0，f（x2）=ex2x2+lnex2x2－a=0，知ex1x1+lnex1x1－a=ex2x2+lnex2x2－a，这就是g（t1）=g（t2），而g′（t）=1+1t>0，知函数③在t∈［e，+∞）内单增，知必有t1=t2，即ex1x1=ex2x2成立.由此，堵住了從等式⑤过渡到等式⑥所存在的逻辑漏洞.

师：非常好.那么现在如何证明不等式⑨成立呢？

生6：我们知道，不等号所连结两边的内容应该具有对等性，但是不等式⑨的左边可以看作是自变量的0次方，即一个常量，而不等式⑨的右边却是自变量的-1次方，因此，从自变量的指数上看，这个不等号所连结的两边内容是不对等的.因此，首先从自变量的指数这项内容出发，寻找使不等号两边“对等”起来的条件及操作活动，这是可以办到的.我的想法就是将不等式⑨的不等号右边分母x1x2的自变量的指数降成1次，这只要将x1x2取算术平方根，即x1x2就可以达到目的，于是希望证明不等式x1x2<x2－x1lnx2x1成立，即期待证明不等式2lnx2x1<x2x1－x1x2B10成立.为了证明不等式B10成立，可设u=x2x1，因为0<x1<x2，知u>1，所以希望证明不等式2lnu－u+1u<;0B11（u>1）成立就达到目的了，于是设f（u）=2lnu－u+1uB12，则f′（u）=2u－1u2－1=－u－1u<0（u>1），知函数B12单调递减，于是f（u）<f（1）=0，这就是说，不等式B11成立.

注 虽然这里将代数式x1x2转化为代数式x1x2并不是一件容易的事情，但是生6使用了不等号所连结两边的内容具有对等性的数学观念予以解释，便形成了一种非常好的启动思维活动的心理内驱力［2］.从生6的这种思维过程中，可以清晰地认识到，这种选择使用代数式x1x2替代代数式x1x2并不是“神来之笔”，而是在探究解体思路的过程中，不断地通过分析与综合、选择合适数学观念指导的自然结果.

由于这道题是压轴题，需要具有较高的区分与选拔功能，因此对于不少学生来说，这道题具有一定难度，选择其他的解题思路，也会出现较大的运算量.如当学生发现了所设定的函数解析式①的结构，可以转化为函数解析式②的结构，从而利用不等号所连结的两边具有“对等性”或“对称性”的数学观念，从而将不等式④，通过不等式⑧，转化为不等式⑨，进一步在期待出现代数式x2x1的情况下，将不等式⑨通过不等式B10转化为不等式B11，如此，为最终解决这个问题设出的函数解析式B12铺平了具体的道路.

参考文献

［1］ 张昆，罗增儒. 数学解题教学设计研究——指向萌生数学观念的视点＼[J＼]. 中学数学杂志，2017（11）：15-18.

［2］ 张昆. 整合数学教学中设计问题的取向——透过“观念性问题”与“技术性问题”的视点＼[J＼]. 中小学教师培训，2019（06）：53-56.

作者简介 张昆（1965—），男，安徽合肥人，中学高级教师，副教授，博士；主要研究

数学教学论、数学史、数学教师培训；发表教育教学论文300余篇，其中26篇被人大复印资料全文转载.