建议把曲线的方程尽量表示成一个方程

【摘 要】 文章由教材的定义及具体实例阐明了以下观点：建议把曲线的方程尽量表示成一个方程，这样更规范、更准确.

【关键词】 曲线的方程；规范；准确

1 建议把曲线的方程尽量表示成一个方程

普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（下简称《选修2-1》）第34-35頁给出了“曲线的方程”及“方程的曲线”的定义：

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个（着重号为笔者所加，下同）二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

由此定义可知，曲线的方程（有时也叫做轨迹方程）是“一个二元方程f（x，y）=0”.

但笔者发现，不少权威资料（教科书、高考题等）并没有注意这一点，兹举几例说明如下.

题1 （《选修2-1》第35页例1，即文［1］例3）证明：与两条坐标轴的距离的积是常数k（k>0）的点的轨迹方程是xy=±k.

证明 （1）如图1，设M（x0，y0）是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为y0，与y轴的距离为x0，所以x0·y0=k，即（x0，y0）是方程xy=±k的解.

（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程xy=±k的解，则x1y1=±k，即x1·y1=k.

而x1，y1正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.

由（1）（2）可知，xy=±k是与两条坐标轴的距离的积是常数k（k>0）的点的轨迹方程.

注 因为“xy=±k”即“xy=k或xy=－k”，它在形式上不是“一个二元方程f（x，y）=0”，所以笔者认为题末的表述“轨迹方程是xy=±k”不妥.

另外，证明中的表述“（x0，y0）是方程xy=±k的解”及“（x1，y1）是方程xy=±k的解”也均不妥.

理由也是“xy=±k”在形式上不是“一个二元方程f（x，y）=0”.

因而，笔者建议把题1及其证明中的三处“xy=±k”均改为“xy=k”，把“x1y1=±k”改为“x1y1=k”；或者把三处“xy=±k”均改为“x2y2=k2”，把“x1y1=±k”改为“x12y12=k2”.

题2 （《选修2-1》第37页习题2.1的A组第2题，即文［1］例4）求和点O（0，0），A（c，0）距离的平方差为常数c的点的轨迹方程.

答案 与《选修2-1》配套使用的《教师教学用书》（人民教育出版社，2007年第3版）（下简称《教师用书2-1》）第40页给出的答案是“当c≠0时，轨迹方程为x=c±12；当c=0时，轨迹为整个坐标平面”.

注 “轨迹方程为x=c±12”的表述不妥（建议改为2x－c=1或改为4x2－4cx+c2－1=0）；“当c=0时，轨迹为整个坐标平面”与题目“求轨迹方程”不符，建议把答案“当c=0时，轨迹为整个坐标平面”改为“当c=0时，轨迹方程为0x=0”.

更重要的是，答案“当c≠0时，轨迹方程为x=c±12”不对，应将其改为“当c≠0时，轨迹方程为x=c+12”.若把题设中的“平方差”改为“平方差的绝对值”，则当c≠0时的答案为“2x－c=1”.

2 把曲线的方程表示成一个方程时不可弄巧成拙

虽说题1中的表述“轨迹方程是xy=±k”不妥，但也不是错误，理由有二：

（1）轨迹方程是“xy=k或xy=－k”中的“或”表示取并集（所有的对象都要取到）［1］，此时可把它等价转化为轨迹方程是“x2y2=k2”或等价转化为轨迹方程是“xy=k”.

一般地，若“f（x，y）=0或g（x，y）=0”中的“或”表示取并集（所有的对象都要取到）［1］，则可把它改成“f（x，y）·g（x，y）=0”.

（2）通常把双曲线的两支合在一起看成一条曲线（所以有“一条双曲线”的说法），因而把“xy=k或xy=－k”（即xy=±k）看成一个方程也不是不可以.

但数学不仅要求真、科学、规范，还应追求简洁，因而本节的文题是“建议把轨迹方程尽量表示成一个方程但不可弄巧成拙”.

题3 （文［1］例5）已知动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线x=3的距离之和为4，则动点P的轨迹方程是   .

答案 y2=4x（x≤3）或y2=48－12x（x>3）.

注 该答案求真、科学、规范；若还追求形式上的简洁，则可把它改为“y2=4x，0≤x≤3，

48－12x，3<x≤4”.

题4 （文［1］例6）若动点P到定点F（1，0）的距离比它到y轴距离大1，则动点P的轨迹方程

是   .

答案 y2=4x（x≥0）或y=0（x<0）.

注 若追求形式上的简洁，则可把该答案改为“yy2－4x=0”.但这种“追求简洁”难度不小，甚至是可遇不可求的，因而笔者认为没必要花大力气来完成这种“追求简洁”.何况我们还可认为前者更清楚明白也更简洁，后者只是形式上的简洁而已.

把“曲线x+y－1=0（2x2－2x－3>0）或x2+y2=4”简化成“曲线（x+y－1）x2+y2－4=0”，也只是追求形式上的简洁.

把“曲线y=x－2或y=1－xx>32”简化成“曲线（x+y－1）x－y－2=0”，也只是追求形式上的简洁.由此可知，有时把方程“f（x，y）=0或g（x，y）=0”表示成形式上的“一个简洁的二元方程”不太容易.

题5 （文［1］例7）已知动圆M与两圆C1：（x+4）2+y2=2及C2：（x－4）2+y2=2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是   .

答案 x=0或x22－y214=1.

注 若追求形式上的简洁，可把该答案改为“7x3－xy2－14x=0”，但有“弄巧成拙”之嫌.

3 若“f（x，y）=0或g（x，y）=0”中的“或”表示“只能选其一”，则一般不能把它改成“f（x，y）·g（x，y）=0”（除非f（x，y）=0与g（x，y）=0表示同一条曲线）

题6 （参见文［1］例14）《选修2-1》第57页最后一段话中写道：双曲线x2－y2=a2的“渐近线方程为y=±x”.

注 不能由y=±xx2－y2=0，把“渐近线方程为y=±x”改为“渐近线方程为x2－y2=0”.因为渐近线是一条直线，而x2－y2=0表示二次曲线.

实际上，“渐近线方程为y=x或y=－x”中的“或”表示只能取其一（不能取其二）［1］，因而不能把它改成“渐近线方程为x2－y2=0”.

同理，不能把“所求直线方程是x=－1或x=0或x=1”改成“所求直线方程是x（x+1）（x－1）=0”，因为“所求直线方程是x=－1或x=0或x=1”中的“或”表示只能取其一（不能取其二，更不能取其三）［1］.

题7 （1）（文［2］第11页第12题，即文［1］例11）若一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点，且圆心在x轴上，则这个圆的标准方程为   ；

（2）（文［2］第26页第5题，即文［1］例12（1））若抛物线过点（－1，3），则该抛物线的标准方程为    ；

（3）（《选修2-1》第80页第8题，即文［1］例10）斜率为2的直线l与双曲线x23－y22=1交于A，B两点，且AB=4，求直线l的方程；

（4）（《选修2-1》第73页第4（1）题，即文［1］例12（2））根据条件“顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6”，求抛物线的标准方程，并画出图形.

答案 （1）x±322+y2=254；（2）y2=－9x或x2=13y；（3）y=2x±2103；（4）y2=24x，y2=－24x（图略）.

题8 （2013年高考新课标全国卷Ⅱ文科第10题，即文［1］例13）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（   ）.

A．y＝x－1或y＝－x＋1

B．y＝33（x－1）或y＝－33（x－1）

C．y＝3（x－1）或y＝－3（x－1）

D．y＝

22（x－1）或y＝－22（x－1）

答案 C．

注 題7各小题答案中用“或”表示的两个方程均不能改成一个方程，题8各选项中用“或”表示的两个方程均不能改成一个方程，理由也是其中的“或”表示只能取其一（不能取其二）［1］.

参考文献

［1］ 甘志国.理解“或”的含义要区别对待［J］.数理化解题研究，2021（01）：4-7.

［2］ 精品课堂同步检测三级跳编写组.同步检测三级跳·高中数学选择性必修课程主题——几何与代数主线［Z］.北京：北京出版社，2019.

作者简介 甘志国（1971—），男，湖北竹溪人，研究生学历;中学正高级教师，特级教师，湖北名师;主要研究解题、高考和初等数学.