二次函数背景下面积最值问题的解题方法与课堂教学设计

程冬蕊

【摘要】本文分别从不同的角度介绍二次函数背景下面积最大值的求解思路，其中切线法，靠轴三角形的运用使得解题技巧独到精巧，综合对比求解思路的基础上，给出在课堂教学中进行变式训练的教学设计，创设问题情境，用系列课题组引导学生学会解题，对教学也有启发意义.

【关键词】最值问题；割补法；切线法

1典型例题及解法

例题已知抛物线y=－x2－2x+3交x轴于点A（-3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，点P是直线AC上方的抛物线上的动点，试求△ACP面积的最大值.

思路一如图2，由点P向x轴作垂线PD，垂足为D.

S△PAC=S△PDA+S梯形ODPC－S△AOC

=12PD·AD+12（PD+OC）·OD-12OA·OC

=12PD×（AD+OD）12OC×（OA-OD）

=12PD·OA-12AD·OC.

思路二 如图3，由点P向x轴作垂线PD，垂足为D.并连接CD，作CE⊥PD，垂足为E.

S△PAC=S△PDA+S△DPC－S△ADC

=12PD·AD+12PD·CE-12AD·OC

=12PD·OA-12AD·OC.

思路三如图4，由点P向x轴作垂线PD，垂足为D.由点P向y轴作垂线PE，垂足为E.再连接OP.

S△PAC=S△POA+S△OPC－S△AOC

=12PD·OA+12OC·PE-12OA·OC

=12PD·OA－12（OA－PE）·OC

=12PD·OA-12AD·OC.

思路四如图5，由点P向x轴作垂线PD，垂足为D.PD、AC相交于点F，再作PD的垂线CE.

S△PAC=S△PFA+S△PFC

=12PF·AD+12PF·CE

=12PF·AD+CE

=12PF·OA.

思路四详细解答过程：

如图5，由点P向x轴作垂线PD，垂足为D.

PD、AC相交于点F，再作PD的垂线CE.

设D点坐标为（t，0），其中-3<t<0，

则点P坐标为t，－t2－2t+3

S△PAC=S△PFA+S△PFC

=12PF·AD+12PF·CE

=12PF·AD+CE

=12PF·OA.

因为C（0，3），

所以设直线AC解析式为y=kx+3，

因为A（-3，0）在直线AC上，

所以-3k+3=0，

所以k=1，

所以直线AC解析式为y=x+3，

所以F（t，t+3），

所以PF=xP－xF=（－t2－2t+3）-（t+3）=－t2－3t，

所以S△PAC=12PF·OA

=12（－t2－3t）×3

=-32（t2+3t）

=-32（t+32）2+278，

所以S△PAC的最大值为278.

思路五设直线AC解析式为 y = kx +3，

因为 A （-3，0）在直线 AC 上，

所以-3k +3=0，k =1，

所以直线AC解析式为y = x +3.

如图6，过P作一条平行于 AC的直线 y = x + m ，交y轴于Q，

由y=x+m

y=－x2－2x+3，

得x2+3x+m－3=0

当两条直线间距离达到最大值时，S△ACP 最大，此时直线与抛物线相切，

Δ=32－4m－3=0，

解得m=214.

连接 AQ ，

因为 PQ∥AC，

所以S△PAC=S△QAC=CQ×OA2

=214－3×3×12=278.

2解题反思

我们从不规则三角形向可求面积的规则图形转化的过程是主要解題方法，割补思路可谓精妙，但基本是都是着眼于静态图形的面积的转化，而忽略了动点运动变化的本质，仅从数的角度给出证明，用二次函数最大值的配方法和公式法格式化求解，不能算是最完美的解题思路，运动变化的本质就是点在曲边图形的一条边上运动，必然影响到竖直方向的铅垂高度，面积表达式的建立，必然依赖于割补法，即使水平方向截距不变，只要铅垂高有最值，△ACP的面积就必然有最值，而这一铅垂高度是由两点的纵坐标之差决定的，这样就有了整体的解题思路，割与补的方法多样性是这一类题目解法多样性的根本原因.

思路四就是传说中的“铅垂高乘以水平宽除以2”的解法表达式，虽然表示简单也算精妙，但计算量不亚于前三个，因为必须先求F这个点的坐标和用待定系数法确定AC的解析式，为了展现此题解题过程的完整性，展现数学运算之美.

思路五直接将动点P与直线AC间的距离当做三角形的高，由于动点P在曲线线段AC上运动，所以点P到AC的距离会发生改变，直接运用面积公式S△ACP=AC×PG2，PG越大，面积就越大，PG取什么值时候面积最大呢？就是当它运动到直线PQ与抛物线相切的切点处时，怎样刻画直线相切？又转到构建方程组，并转化为一元二次方程根的判别式的应用问题上，“相切”等价于“Δ=0”，用转化思想及判别式法巧求m这一解题过程显然高大上，抛弃经典解法割补法运用了非常巧妙的切线法，最后得出m的值的方法更是巧妙至极，直接将三角形等积化，用和它的面积相等的△ACQ代替，它是可求面积的靠轴三角形，两条平行线间同底等高三角形的一个等量代换代替了复杂的配方和公式法，学生看到此，会感到出乎意料，创新意味爆棚！

3课堂教学设计

我们从动点运动轨迹来看，点P的纵坐标的绝对值就是它到x轴的距离，因此我们便有了下面的教学建议，在解题中发现题目的多个考察点，发现多种解法.教学中却常常困住学生，限制学生思维，没有架设好上树的梯子又怎能摘到香甜可口的果子？让学生生搬硬套，直接给他一个公式“铅锤高乘水平宽除以2”了事？学生莫名其妙，课堂效果怎么好？为了让孩子自己摘到果子，我们就应该设计恰当的问题串.

问题1如图2，过点P作PD垂直于x轴，垂足为D，线段PD的长度是否有变化？什么时候PD的值最大？PD的值和二次函数y=-x2-2x+3的最值有何关系？（设计思路：点P到x轴的距离就是二次函数最值，通过这一简单问题渗透数形结合思想.垂线段PD的长度就是最值的几何直观，让学生深刻理解二次函数最值的几何意义）

问题2如图2，你能求出抛物线与x轴交点坐标吗？连接PA，PB，你能求出△PAB面积最大值吗？（设计思路：让学生知道△PAB面积最大值受高PD最值的直接影响，它是前面一个问题的直接运用并为割补法做铺垫）

问题3  如图2，你能求出直线AC的解析式吗？若在直线AC上存在一个动点E，作EF垂直于x轴，垂足为F，垂线段EF的长度如何表示？它与直线AC的解析式有何关系？（设计思路：掌握EF的长度与动点E的坐标的关系，发现垂线段EF长度的本质就是E的纵坐标这一变量.）

问题4如图2，如果E是PD与AC的交点线段，PE将如何表示？你能求得最值吗？（设计思路：引导用点P和点E两点纵坐标之差来表达两点间的距离.）

问题5  如图5，在此基础上连接PA，PC，得到△PAC，你想用什么方法表达△PAC的面积呢？你能用分割的方法来做这道题吗？（设计思路：引导学生将△PAC转化成△PAF与△PCF的面积之和.）

问题6你还有其他表示△PAC面积的割补方法吗？请设计出用割补法表达△PAC面积的不同思路？（设计思路：引导学生寻求不同于第一分格方法的割补思路.）

问题7我们在以上的讨论中使用了割补法，列出了△PAC面积的表达式，你认为其中最关键的一步是什么？哪一条线段特别重要？表示这条线段你用到了哪些知识？（设计思路：引导学生归纳割补法的本质，一步步地形成“铅垂高”和“水平宽”的概念得出面积的简单表达式.）

问题8  如图6，抛开以上思路，另辟新思路，我们由点P向AC作垂线段PG，PG和△PAC有什么关系？PG的长度是变化的吗？它是怎样变化的？它有最大值吗？当点P运动到哪里时？会使PG的长度最大？（设计思路：引导学生分析得出PG越大，三角形面积就越大.）

问题9  用几何画板设计动画展示，追踪点P移动到切点的过程，观察面积最大时的点P的位置.然后再问学生，我们不用几何画板，用什么好办法直接找到这个点呢？紧接着飞入直线PQ，借助这条和AC平行的直线能确定点P吗？（设计思路：当PQ向上平移的过程中，总会出现与抛物线相切的情况，引导学生去发现.）

问题10  我们得到了能使三角形的高PG最大的点P，你将怎样去求△PAC的最大值呢？（设计思路引导学生用判别式，判别式法求m的值.）

问题11如图6，连接AQ ，△APC 和△AQC是夹在两条平行线之间的两个三角形，这两个三角形的底和高分别有什么关系？它们的面积相等吗？为什么？（设计思路：引导学生用△AQC的面积来代替△APC的面积去求△PAC面积的最值.）

通过以上问题串的设计，引导学生去发现两类解法的思路，体现解题策略的生成过程，以割补法为铺垫，多种割补法发散性地训练学生的发散思维抽象归纳为一个完整的铅锤高乘以水平宽的过程，这正是新课标所要求的.

参考文献：

[1]李改生.一道二次函数面积最值问题的多种解法[J].数理天地（初中版），2022，（13）：16-18.

[2]趙晓玲.如何求解二次函数中三角形面积的最值问题[J].语数外学习（初中版），2021，（10）：24-26.

[3]谭极阳，谭杰中.浅析二次函数中三角形面积最值问题的解题策略[J].理科考试研究，2021，28（02）：18-21.

[4]宋子君.基于数学核心素养培养的课堂教学实施——以“二次函数的最值问题”教学设计为例[J].数学大世界（中旬），2018，（04）：75-76.