含双平方根式无理函数的最值（值域）问题

何春良

摘 要：本文笔者对含双平方根式无理函数的最值（值域）问题的常规求解进行了探究，方法多样，但要灵活运用，值得广大读者学习与参考.

关键词：双平方根式；无理函数；最值问题

形如y=af（x）+bg（x）+c的函数叫作含双平方根式的无理函数，这类无理函数的最值（值域）问题是高三理科数学复习中的一个难点内容，也是近几年高考命题的热点内容.由于这类问题的求解涉及函数、几何、三角、向量以及不等式等数学知识，具有较强的综合性，若学生没有掌握比较系统的数学知识，解决这类问题是有一定困难的.为此，笔者对这类问题的求解方法进行了总结与归纳，现将几种常规方法一一介绍.

一、单调性法

例1 求函数y=3x2-1-4-3x2的值域.

解 易求函数的定义域为[-233，-1]∪[1，233]且为偶函数，所以

当x∈[1，233]时，函数y=3x2-1-4-3x2单调递增.则当x=1时，ymin=-1；

当x=233时，ymax=3.故该函数的值域为y∈[-1，3].

二、求导法

例2 求函数y=5x-1+10-x-226的值域.

解 易知函数的定义域为[1，10]，当x=1时，y=3-226；当x=10时，y=15-226.当x∈（1，10）时，y′=12（5x-1-110-x），且导函数y′在（1，10）上單调递减.令y′=0，得x=25126.所以当x∈（1，25126）时，y′>0；当x∈（25126，10）时，y′<0.所以原函数y在（1，25126）上单调递增，在（25126，10）上单调递减.则当x=25126时，ymax=26；当x=1时，ymin=3-226.故该函数的值域为

y∈[3-226，26].

三、整体代换法

例3 求函数y=2x2+8x2+1+412-x2-4x2的值域.

解 令t=x2+4x2（4≤t≤12），则y=2t+1+412-t.当t∈[4，12）时，y′=12t+1-212-t在[4，12）上单调递减.∵当t=4时，y′=13-22<0，∴当t∈[4，12）时，y′<0，函数y=2t+1+412-t在[4，12]单调递减.∴当t=4时，ymax=3+82；当t=12时，ymin=5.故该函数的值域为y∈[5，3+82].

四、基本不等式法

例4 求函数y=x2-2x+2+x2+2x+2的值域.

解 易知x∈R，y=x2-2x+2+x2+2x+2≥24（x2-2x+2）（x2+2x+2）.

=24（x2+2）2-4x2=24x4+4≥244=22.

当且仅当x=0时取等号，所以该函数的值域为y∈[22，+∞）.

五、数形结合法

例5 求函数y=x2-2x+2+x2+2x+2的值域.

解 函数y=（x-1）2+1+（x+1）2+1的几何意义是表示动点P（x，1）到定点A（-1，0），B（1，0）的距离之和.易求点B（1，0）关于直线y=1对称点B′（1，2）.

当A，P和B′三点共线时，P点到A和B的距离之和最小，距离最小为|AB′|=22.

故y≥22，即所求函数的值域为y∈[22，+∞）.

例6 设a，b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为.

解 由a+b=5，可得（a+1）+（b+3）=9，即（a+1）2+（b+3）2=9.

令x=a+1，y=b+3，则问题就转化成约束件为x>1y>3x2+y2=9，目标函数为z=x+y.

如图所示：可行域为AB弧（不含A，B两点），沿直线l0∶x+y=0往上平移，直到与AB弧相切时的P点就为最优解，容易求得P（322，322），此时以P点为切点的切线方程为l∶x+y=32，∴Zmax=322+322=32，故（a+1+b+3）max=32.

总之，当解完了一道题后，要及时归纳与总结方法，力求做到一题多解、多题一解，达到应用自如、熟能生巧、举一反三的地步，为以后解题打好坚实的基础.