利用函数图像的中心对称，解决一类最值和问题

摘 要：有一类函数最值和问题，如果函数图像是中心对称图形，我们可以不必去求函数的最值，可利用函数图像的中心对称巧妙解决这类问题.

关键词：最值和；图像；中心对称

作者简介：阳汉军 （1972-），男，四川资阳人，本科，中学高级教师，主要从事高中数学教学研究.

一、题目

已知函数f（x）=22x+1-5x的最大值为M，最小值为N，则M+N=（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.0

关于这个问题，如果直接去求最大值和最小值来解决显然繁琐，其实，如果我们能从另外一个角度来认识该问题，则对这一类问题都能迎刃而解.

二、解析

解析1 ∵f（x）=22x+1-5x，∴f（-x）=22-x+1+5x.

∴f（x）+f（-x）=（22x+1-5x）+（22-x+1+5x）=22x+1+22-x+1=22x+1+2·2x2x+1=2（2x+1）2x+1=2.

即f（x）+f（-x）=2.

∴[f（x）-1]+[f（-x）-1]=0.

令g（x）=f（x）-1，则g（x）+g（-x）=0，

∴g（x）=f（x）-1为奇函数，由题意得

g（x）max=M-1，

g（x）min=N-1.

因为奇函数的图像关于原点对称，故g（x）max+g（x）min=0，∴（M-1）+（N-1）=0，M+N=2，选择A.

评注 本题利用了奇函数的图像关于原点对称，最大值与最小值互为相反数，从而最大值与最小值的和为零.

解析2 由解析1中f（x）+f（-x）=2知f（x）的图像关于点（0，1）对称，∴M+N2=1，即M+N=2.

评注 因g（x）=f（x-1）的图像关于原点对称，所以f（x）=g（x）+1的图像关于点（0，1）对称.

三、引申

遇到这类问题，若发现函数图像是中心对称图形，那么用这种办法能很快解决问题.

①一般地，若函数f（x）满足f（x）+f（-x）=2k，则f（x）的图像关于点（0，k）中心对称，若f（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N2=k，所以M+N=2k.

证明 如图，设A（x1，M）为f（x）图像上的一个最高点，则在f（x）的图像上必存在和点A对应的关于点（0，k）对称的点，该点应为f（x）图像上的一个最低点，设为点B（x2，N），由A、B两点关于点（0，k）对称得M+N2=k，所以M+N=2k.

②一般地，若函数f（x）满足f（a+x）+f（b-x）=2k，则f（x）的图像关于点（a+b2，k）中心对称，若f（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N2=k，所以M+N=2k，证明略.

四、练习

①已知f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值为M，最小值为N，则M+N=.

②已知g（x）=（x-1）3-sinπx+1（0≤x≤2）的最大值为a，最小值为b，则a+b=.

参考答案 ①2 ；②提示：因为g（x）+g（2-x）=2，所以g（x）的图像关于點（1，1）对称，故a+b=2.