一类含CFC-分数阶导数微分方程的Lyapunov不等式及其解的存在唯一性

王枫, 葛琦

( 延边大学 理学院, 吉林 延吉 133002 )

0 引言

1907年,Lyapunov[1]提出了下列边值问题:

近年来,随着分数阶微分方程在各领域的广泛应用,学者们又定义了许多不同的分数阶导数.例如:2018年,文献[2]的作者研究了如下分数阶微分方程的边值问题:

(1)

(2)

其中:u(t)是定义在[0,1]上的实值连续函数.同时本文还将研究以下微分方程解的存在唯一性及其Hyers-Ulam稳定性:

(3)

(4)

1 预备知识

定义1[7]定义函数f(t)∈L1([0,1],R)的s阶黎曼刘维尔(Riemann-Liouville)分数阶积分为:

其中s>0,τ>0, Γ(·)为Gamma函数.

定义4[9]设函数f是定义在[0,1]上的实值函数.定义函数f在左Caputo和Fabrizio意义下的α(α∈(0,1])阶左Caputo分数阶导数(简称CFC-分数阶导数)为

性质1[9]设α∈(n,n+1],n≥1,u(t)是定义在[0,1]上的函数,则有

证明在式(1)两边同时作用CF0Ip后再利用性质1和定义4可得:

(5)

(6)

根据条件x′(0)= 0,对式(6)进行计算可得c1= 0.为了确定常数c2,计算下式:

(7)

根据条件ax(1)+bx′(1)= 0,对式(7)进行计算可得:

即

(8)

将式(6)—(8)代入式(5)可得:

(9)

为了将式(9)整理成含有格林函数的形式,对其进一步计算得:

(10)

(11)

(12)

将式(10)—(12)代入式(9)可得:

x(t)=

2 主要结论及其证明

引理3由引理1所定义的格林函数G(t,s)满足如下不等式:

(13)

(14)

|g1(t,s)|≤g1(s,s).

(15)

由式(14)和式(15)可得,当0≤s≤1时,有:

(16)

(17)

定理1若微分方程(1)和方程(2)存在非零解,则如下Lyapunov不等式成立:

考虑如下特征值问题:

(18)

(19)

由推论1可知,如下推论2成立.

因此T为压缩算子.再由Banach压缩映像原理可知,存在不动点x*,使得Tx*=x*.由此可知,微分方程(3)和(4)存在唯一解,证毕.

下面考虑如下含CFC-分数阶导数非线性微分方程解的Hyers-Ulam稳定性:

(20)

其中f:[0,1]×R→R为连续函数,且对任意的(t,x),(t,y)∈[0,1]×R存在常数L>0,使得|f(t,x)-f(t,y)|≤L|x-y|成立.

定理3非线性微分方程(20)的解是Hyers-Ulam稳定的.

再由引理1可得:

3 具体算例

考虑如下微分方程:

(21)

x(0)=x′(0), 2x(1)+x′(1)= 0,

(22)